老师，高三数学复习要不要记笔记

王思俭

高三数学复习的任务是什么？95%的师生认为就是讲题做题测验讲评订正，循环往复，直到高考。同学们有没有想一想，这样数学成绩究竟能提高多少？数学思维能力提高了多少？但事实上结果却是“讲过练过未必会做，没讲没练肯定不会”。究其原因，许多学生只听不记，或者只记不听，或者只画不记，那么究竟该记什么？怎么记？记在哪里？记后做什么？

生乙：教材和教辅用书上都有概念、性质、定理、公式，所以偶尔记一点拓展与注释。

生丙：虽然复习资料上都有，但我还是坚持记下来，我认为对于理解概念的本质是大有好处的。如复习直线与平面垂直、平面与平面垂直时，您要求我们对每一个定理都要证一遍，我都是认真完成，同时也把其他同学的证明方法记录下来，我感觉收获很大。虽然有时未必完全理解，但课后再讨论，感觉收获更大，特别是直线与平面垂直的判定定理的证明，一位同学给出空间向量的证法，设平面a内两条相交直线a，6的方向向量分别为n和b，直线z的一个方向向量为n，在平面a内任取一直线c，其方向向量记为c，根据平面向量基本定理c=xa+yb，n⊥a，n⊥b。所以，n·c=n·（xa+yb）=xn·a+yn·b=0，所以n⊥c，由线面垂直定义知l⊥α。

生丁：这种证明方法我仅仅记一个思路，但老师提出是否还有其他证明方法时，倒引起了我的兴趣，在笔记给出旁注“老师说，还有传统几何法的证明思路”，课后我与几位同学讨论，经过近一个多小时的探究，我们认为要利用线线垂直的条件，先构造等腰三角形，不妨设直线l过a与b的交点0，在l上取点P，Q，分布在点O的两侧，且PO=QO，在直线a和6上分别取点A和B。在平面α内任取一直线c，不妨设其过点O，直线c与AB交于点M。

因为l⊥a，所以a垂直平分线段PQ，因此PA=QA。同理PB=QB。

再证明三角形全等，又AB=AB，所以△PAB≌△QAB，于是∠PAB=∠QAB。

可以证明三角PAM≌△QAM，所以PM=QM，这样又构造新的等腰三角形，所以OM⊥PQ，从而证明直线l垂直平面α内的任意一条直线，于是得到结论。

老师的一句话，激发了我们几位同学的探索热情，整个探究过程不仅加深了我们对定理的理解，同时也让我们体会到构造法研究问题时的威力，品味到了成功的快乐。

因此我认为记笔记主要是记要点、关键点、疑惑点和兴奋点。

师：生丙与生丁记笔记各有特色，但他们主要是先听课，再记笔记，抓住主要的内容，对于疑惑点他们都是先放一放，课后再进行探究，充分发挥笔记的作用。

生戊：我认为记笔记主要是用于课后复习巩固，有时对课本上的定理、公式、运算法则等基础知识进行重新梳理。如果是复习基础知识，我主要是听老师讲解，碰到关键之处就在教材上圈点，对于老师或同学给出的不同证明思路，我也是抓住关键词记录在教材相关位置，课后自己再独立完成相关证明。例如在复习《两角和与差的三角函数》时我主要就是记住老师在黑板上的思维导图：

课后我又证明一遍，有的给出另外一种证明方法。

师：你为什么要重新证明？

生戊：当公式或定理记得模糊不清时，我可以从定义出发进行推导，这样有利于自主探究性学习。

师：你对上述思维导图中哪一个公式给出另一种证明方法？

生戊：在单位圆中我先利用两点间距离公式证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。