一道解析几何试题的探究

顾晓峰

笔者在研究了镇江市高三教学情况调研试题后发现，第18题的解析几何问题虽然是基于椭圆的背景设计的，但第二问及第三问的结论可以延伸推广至其他的圆锥曲线中.此外，本文还将对第三问的解法做进一步的讨论.

若将条件中的右焦点改为左焦点，则相应地可以得到以下结论：

说明 由于涉及弦中点，因此想到了点差法，并通过用点的坐标代替斜率来表示△FMN的面积.虽然在解题初期可能会感觉到用坐标表示比较麻烦，但若充分抓住题目中的条件信息及相互关系则可以简化表达式.此外，只有注意到x₁x₂的隐含限制时才能成功求出最值.

说明 解法3和解法4分别抓住了直线参数方程中t的几何意义和极坐标的特殊性来将MF和NF表示成相应的三角函数式，无论是表示的过程还是求最值的过程相较于前两种方法都要简便些，是处理本题的通法.这也提醒同学们应重视参数方程与极坐标方程在解决解析几何问题时的特殊价值.

对问题的深入探究有利于同学们认识命题的背景、体会知识之间的相关性、促进同学们对数学之美的深层感知.就本题而言，有兴趣的同学不妨对其他类型的圆锥曲线做进一步的探究.