浅谈高中数学在解决实际问题中的应用

窦若旸

[摘要]用高中数学知识解决实际问题，要准确审题，要善于阅读直接或间接给出的条件，学会挖掘隐含的条件，准确理解题目的文字陈述和符号的含义，以图形、图表等数学语言，列举、提炼出问题的关键。应具备巧用方程、函数、数形结合、整体、分类讨论、转化等数学思想和方法的能力。应通过多模仿、勤训练、多总结等方式，有意识地把数学知识与生产、生活、相关学科联系起来，综合运用好不等式、向量、数列、函数等数学知识，构建数学模型。

[关键词]数学；能力；应用；建模

通过高中数学的系统性学习，可以看出数学知识都有其具体、直接的应用，如运用不等式的性质、线性规划、函数等求解实际问题的最值，用概率统计知识解决概率统计问题等。这些数学知识的实践性学习与应用让我们充分感受和体验到了数学的应用价值。本文拟结合学习实践，谈谈高中数学在解决实际问题时需要具备的能力。

一、审题能力

解题过程就是一个信息的“输入——加工——输出”的过程，解题首先要准确审题。审题要求我们主动发现、辨认、转译题目中一切直接或间接给出的条件，排除干扰条件，有计划、有目的地积极思考，达到准确解题的目的。求解数学问题必须准确审题，弄清问题的文字陈述和符号的含义，依据具体问题的题设和结论，适当运用图形、图表等数学语言，列举、提炼出问题的关键。

例1.已知？琢是三角形的一个内角，且sin？琢+cos？琢

思路（2）：借助sin2？琢+cos2？琢=1，将弦化为切，减少计算，是数学转化思想的体现。

本例的第（1）问也可用第（2）问的方法解决。

通过以上的运算可以看出审题对于解题而言起着至关重要的作用，但是审题时常常感觉难度较大，往往无从下手。我们应该善于阅读题设条件，学会挖掘题目隐含的条件。审题能力是剖析问题、解决问题的重要组成部分，科学的审题方法是我们每个人必须具备的能力，解题中应引起足够的重视。只有在平时的学习中多训练、多思考，逐步培养良好的审题习惯，才能大大提高我们解决数学问题的能力。

二、合理应用数学知识、思想、方法的能力

数学思想方法是数学的灵魂和生命，是一种“隐性知识”，也是把抽象的数学理论转化为数学应用能力的关键，能否灵活掌握并用好数学思想方法，直接影响答题的效率和整个解题的思路。针对不同的问题，巧用方程、函数、数形结合、整体、分类讨论、转化等数学思想方法，是高中数学知识在解题中的具体体现。

例2.已知椭圆？赚的中心在原点，焦点在横轴上，e=，且椭圆经过点 （1，3）。

（1）求椭圆M的方程；

（2）是否存在过点Q（2，1）的直线L与椭圆M相交于不同的两点A、B ，满足 2？若存在，请求解直线l的方程；若不存在，请简述理由。

思路（1）：确定椭圆的方程，必须确定a 、b 的值，故可用待定系数法。

解：设椭圆 M的方程为（a>b>0），由题意得a2=b2+c2

解得a2=4，b2=3

所以椭圆M的方程为

思路（2）：存在性问题，先假设存在，再根据题意，用方程、函数、整体、分类讨论、转化等 数学思想方法解题，若求得符合题意的解，则存在，否则就不存在。

假设存在直线l，且斜率存在，方程即为y=k（x-2）+1，代入椭圆M的方程得：存在直线l满足条件，方程为y=x，运算过程略。

从以上求解过程中可以看到，本例主要考查不等式的解法，是平面向量与解析几何知识的综合应用，反映了方程思想，考察了逻辑思维能力、推理能力、解题运算能力等。多模仿、勤训练、多总结是提高数学应用能力与合理应用数学知识、思想、方法的有效途径。

三、数学建模能力

数学建模能力是综合运用数学知识，解决生产和生活中实际问题的有效方法；具备建模能力对应用数学知识，解决实际问题是十分重要的。

例3.某校在组建校园网时，在项目建设阶段，采购电脑等设备及安装调试期间共花费5万元。校园网正常运行期间，该校每年要向网络运营服务商支付网络通讯费0.5万元，且校园网的维护费用每年都各不相同，按照合同约定，其第一年的维护费用为0.1万元，之后，每年的维护费用比上一年增加0.1万元。

（1）如果该校的校园网正常运行满5年，其累计总投资费用（含采购电脑等设备及安装调试费用）是多少？

（2）试问该校的校园网正常运行多少年时，其累计总投资费用的年平均值最小？

思路（1）：建立数列模型。此题符合等差数列的特征。

解：5年内，校园网的维护费是以0.1为首项，以0.1为公差的等差数列，其累计维护费用可化转为等差数列的求和问题，所以使用5年时其累计总本案例是数学建模知识在现实生活中的实际应用，是利用数列、函数建立的模型，用基本不等式的知识求解实际问题的最值问题。应用数学建模知识解决实际问题的关键在于如何建模，建立什么样的模型，才能更好地、准确地解决问题。因此，在平时的学习中要注重学习方法的积累和总结，要勇于探索、敢于提出问题，尝试自主解决问题。并且，在解题中要努力展现创造力，提高综合利用所学知识解决问题的能力，感受数学的应用价值。同时也要注重团队合作精神，养成与人交流的习惯，学习借鉴他人的方法，体会学习的乐趣。

数学是现代文化的重要组成部分，数学思想方法向一切领域渗透，数学的应用越来越被社会所重视。数学源于生活，服务于生产实践。在学习中将数学和现实生活中的问题联系起来，可以让学生充分认识到数学在日常生活中的重要作用，有助于激发学生的学习兴趣，提高应用数学知识解决实际问题的意识和能力，对开阔学生的视线有十分积极的意义。

参考文献：

[1]甘海.浅谈高中数学教学中的审题[J].数学学习与研究，2014（21）.

[2]李中振.高中数学分析问题和解决问题能力的培养[J].课程教育研究：学法教法研究，2015（27）.

[3]张艳如.浅谈高中数学建模能力的培养[J].中学教学参考，2014（15）.

（责任编辑 冯 璐）