例谈初中数学数形结合思想的有效运用

白东晓

初中数学研究的对象主要分为数和形两大部分，即为代数与几何，数与形之间存在着紧密联系，该联系称之为数形结合。教师在平常教学中需有效应用数形结合思想，把数与形有机整合起来，为学生提供新颖的学习思路，帮助学生巩固数学基础，提高解题能力。

一、运用数形结合思想，辅助学生理解概念

概念属于数学知识体系中的基础，不仅是学生学习其他知识的铺垫，还是进行解题的重要支持与关键所在。在初中数学课程教学中，教师要高度重视概念教学，概念以文字性描述为主，如果仅仅依靠语言描述显得过于抽象，学生很难真正理解，在解题环节无法做到灵活自如运用。这时可运用数形结合思想，把描述概念的文字以图形形式来呈现，更为直观与具体，辅助学生更好地理解概念，为后续学习做铺垫。

例如在进行“相反数”教学时，教师先要求学生画出一个数轴，注意原点、正方向和单位长度，在数轴上找出表示3和-3、-5与5、2.5和-2.5各组数的点。

思考：表示每对数的点有什么相同和不同之处？鼓励学生结合数轴的相关知识自由回答，使其获得感性认知。

教师指导学生认真观察、讨论和研究各对数的特点，分析每组数所对应两个点的位置关系有什么规律？使其初步发现每对点位于原点左、右两边，且距离原点等距。提出问题：数轴上与原点的距离是1的点有几个？6呢？这些点表示的数分别是什么？观察后学生知道都有两个，分别是1与-1，6和-6。

师生一起归纳：每组中的两个数只有符号不同，它们所对应的两点分别在原点的两侧，到原点的距离相等。引导学生总结相反数的概念：像3和-3、-5和5、2.5和-2.5这样只有符号不同的两个数称互为相反数，让学生理解代数概念与几何意义。

教师运用学生熟悉的数轴讲述和解析相反数的概念，让学生体会数形结合思想。

二、应用数形结合思想，讲授数学公式定理

在初中数学教学过程中，公式与定理占据着非常重要的地位，是理论知识的高度浓缩与精华，学生在解题时离不开公式和定理的辅助。当讲授到公式与定理时，同样可以应用数形结合思想，以几何图形的形式把数学公式与定理展示出来，唤起学生的感性思维，降低学习和理解难度。

例如在开展“平行线的判定”教学时，学习平行线的判定公理，教师先带领学生回顾平行线、平行公理及其推论等知识。

问：如何用平行線的定义及平行公理来说明两条直线平行？

根据学生的回答加以总结：如果用平行线定义难以说明两条直线没有交点，平行公理的推论对条件要求较多，要有三条平行线，且其中的两条分别与第三条平行，能否用这两种方法来说明木工师傅用拐尺画平行线的原理？使其尝试说明，联想到有其他途径判定两条直线是否平行。

回忆、叙述用三角板和直尺过一点P画已知直线AB的平行线的过程，设疑：这种画法实际上是画一对什么角相等？使其观察图形后发现这两个角是直线AB、CD被EF截得的同位角，引领学生总结出平行线的判定方法1，简单记为“同位角相等，两直线平行”。随后教师继续应用数形结合思想，指导学生借助“三线八角”图探索平行线的判定方法2与3。教师引导学生动手画图，应用数形结合思想讲授新知识，使其在探索图形的过程中，学会思考和探索。

三、发挥信息技术优势，体现数形结合思想

数形结合思想的两个部分是“数”与“形”，其中“形”具有直观性，能够具体、形象地把数学理论知识呈现出来。在新课改背景下，信息技术已经广泛运用至各行各业，自然也包括教育领域。教师在日常教学中，应该充分发挥信息技术的优势，运用现代教育手段拆分与组合图形，更为生动地体现出数形结合思想，把图形的转化变得更加科学与合理，带给学生强烈的视觉冲击，以便轻松理解与掌握新知识。

在实施“菱形”教学时，教师可以提前通过网络平台搜集一组生活中的菱形实物图片，如：铁丝网、室内挂衣架、春联中的“福”字、瓷片和三菱车标等，让学生认真观察，从中找出菱形，引出课题，使其类比矩形的定义，结合信息技术手段，动态展示将平行四边形较短一边进行平移的过程，让学生通过观察、分析与讨论，顺利抽象出菱形的定义。

提问：菱形具有哪些性质？组织学生结合图片分组讨论后全班交流，一起归纳：菱形的四条线都相等;两条对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角;面积等于对角线乘积的一半。设疑：假如一个四边形是一个平行四边形，只要再添加什么条件才能判定它是一个菱形？有什么根据？

学生先画图，再讨论，根据菱形的定义得知：只要再添加一组邻边相等的条件就能判定该平行四边形是一个菱形。随后教师继续借助信息技术手段，指导学生在观察与实践中探究菱形的其他判定方法。

通过信息技术和动手操作，引领学生亲身经历探究菱形定义、性质和判定方法过程，体现数形结合思想，使其充分享受到视觉盛宴，培养学生观察、猜想及合情推理能力。

四、合理使用以形助数，锻炼学生解题技巧

想更好地运用数形结合思想，不能仅仅停留在理论知识的讲授方面，还要扩展至解题环节，为学生提供亲自运用数形结合思想的机会，使其深刻体会到数学思想方法的妙用，帮助学生找到便捷的解题方法。具体来说，数形结合思想分为以形助数、以数解形两种情形，教师可以指引学生合理使用以形助数的方法处理题目，借助形的几何直观性来阐明数之间的关系，将复杂问题变得简单化，锻炼学生的解题技巧。

以“一次函数”教学为例，设置题目：某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如下图所示，表示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：

（1）求y1和y2的函数解析式;

（2）解释图中表示的两种方案是怎么付推销费的？

（3）假如你是一名该公司的推销员，应该如何选择付费方案？

解析：（1）教师指引学生自学观察图形，根据两个一次函数图像及坐标轴上的点展开分析，得出两个解析式分别为y1=20x，y2=10x+300;

（2）依据一次函数相关知识自主组织语言，指导学生运用数学术语来描述这两种付推销费的方案，y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品将会得推销费200元，y2则是保底工资300元，每推销10件产品能够得到提成100元;

（3）根据业务能力高低来选择付费方案，如果业务能力强，平均每月保证推销不少于30件时，就选择y1的付费方案;否则选择y2的付费方案。

在上述案例中，学生解题的关键在于以形助数，知道图像在上方的说明它的函数值较大，反之较小，两图像相交时，说明在交点处的函数值相等，改善其解题能力。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，以数解形则是部分图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律，需要给图形赋予一定的值，如边长和角度等，把抽象问题变得具体化，优化学生的解题思路，顺利解题。教师在解题教学环节，指导学生巧妙采用以数解形的方法分析与处理题目，将数学问题变得更加充实与丰满，使其找到清晰的解题思路，最终得出準确的答案。

教师要充分认识到数形结合思想的教育价值与积极意义，把握好概念、公式、定理、公理等讲授同解题实践之间的关系，从多个方面渗透数形结合思想，帮助学生深刻理解与牢固掌握理论知识，提升解题水平。

■ 编辑/王    波