如何在初中数学教学中渗透数学思想方法

刘玉梅

数学是人们对客观世界定性描述和定量刻画，并经逐渐抽象概括所形成的方法和理论.数学思想是对数学规律的理性概括，数学方法是解决数学问题的具体步骤和根本策略，是数学思想的外在反应.数学思想是数学方法的“DNA”，是数学方法的精髓.

九年义务教育《初中数学课程标准》明确指出：“数学教学不应仅仅是知识的传授，更应该注意对其中所蕴含的数学思想方法的提炼和总结，使之逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用，帮助学生更好地理解数学的本质，由此使学生逐步认识数学的科学价值，提高学生的科学素养.”为此，新教材的编写十分注重数学思想方法的渗透和体现.

实践证明，突出思想方法的教学还可以大面积提高教学成绩，从而使应试教学和素质教学达到统一，那么在初中数学教学中如何进行思想方法的渗透呢？下面结合教学实践谈几点体会：

一、认真钻研课程标准和教材，宏观掌握数学思想方法

通过多年对《初中数学课程标准》和教材的钻研以及对解题方法的探讨挖掘，总结出思想方法并归类如下：

有些数学思想在“课程标准”中并没有明确提出来，而是隐含在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中，例如参数法和特殊化法.

在解未知量较多的问题时渗透参数法.这里仅举一例.

初一数学“三角形”一章中关于多边形的部分有这么一道题：一个凸四边形的内角的度数按从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小的角是100°，最大的角是140°，求这个多边形的邊数.

在这道题里不仅边数是未知数，增加的相同度数也是未知的，如果只设边数为唯一的未知数显然无法将题中的数量关系联接起来，也就是说题中的数量关系无法利用，所以需要设出这个增加的度数（也就是所谓参数）充当过客，它能起到“化解矛盾”的作用，渗透了参数的思想.

为了便于列方程，我们设这个多边形的边数为（n+1），再设依次增加的度数为x，引导学生列出：

100+nx=140，得nx=40（1），

同时这个多边形的内角和可以用n和x表示为100（n+1）+x+2x+…+nx，而x+2x+…+nx=x（1+2+…+n），用两头叠加的办法可转变为■.由内角和公式得

100（n+1）+■=180（n+1-2）（2），

将（1）代入（2）得，n=5，n+1=6.

比如，我们经常要证明一个命题是假命题，这就要列举出命题不成立时的特殊情形，即“举反例”.在字母的取值范围内判断一些式子是否成立时，我们通常取一个特定的值代入检验，这属于特殊化法.经常通过训练来加深对这些方法的理解和应用可以为我们解决问题带来很大方便.如：

当0

A.x2>■ x>x2

C.■>x2>x D.x >■>x2

我们将x=0.1代入验证，很快便能得出答案.

在初中数学教学中，教师不但要帮助学生领悟这些数学思想，而且要培养学生的独立思考能力，使学生懂得运用数学思想不断追求新知、创造性地解决问题.

二、明确要求，分层次渗透数学思想方法

通过对数学课程标准的学习和对教材的研析，我将初中数学中渗透的数学思想和方法分为三个层次，即“了解”“理解”和“会应用”.如数形结合法、分类法、类比法、化归法、函数思想、反证法等要求学生了解；图像法、待定系数法、降次法、消元法、配方法、换元法等要求学生理解并会应用；常量与变量观念（方程与函数）、集合与对应思想、不完全归纳法、抽象概括法等只要求学生理解；模型化和图形化法、特殊化法、综合法与分析法、试验法、构造法等要求“会运用”.教师应按要求把握好渗透的层次.

人教版初中数学教材第五册中明确提出了“反证法”的数学思想，并且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《初中数学课程标准》中只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，因此在教学中要把握住这个“度”，千万不能随意拔高.反证法在人教版初中数学第二册“平行线公理”，即证明“如果两条直线a、b都和第三条直线c平行，那么这两条直线a、b也平行”时就已经体现.我先引导学生确认在同一平面内两条直线的位置关系是不平行就相交，然后假设直线a、b相交于点p，引导学生利用平行公理，引出矛盾并否定，从而确认a和b只能平行.反证法逻辑性很强，也不好操作，对初一学生只能作方法的启发，隐去其思想，否则学生就会有畏难情绪.

在七年级第一章“有理数”教学时，用数轴表示有理数时就有集合与对应思想的体现，但只能用象征性语言隐性渗透，等到学习第六章“实数”时，通过实数与数轴上的点的一一对应关系就可以明确重点，而在学习“平面直角坐标系”时，再正式介绍对应思想学生就更容易接受了.在学习“有理数的分类”时就有集合思想体现，可用打比方的方法隐性化，到学习“函数”时反复明确集合与对应思想、常量与变量思想，让学生逐步接受并理解.

三、把握教学契机，有针对性地分层次渗透

数学思想内容丰富，方法难易有别，对数学思想方法的渗透要有的放矢、循序渐近，教师要精心设计、有机结合，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际.

例如，在解含有相等关系的问题时常构造方程；在解大小关系的问题时常构造不等式；在解对应关系的问题时常构造函数.这些数学模型的构造把实际问题转化成了数学问题，通过解方程、解不等式、用待定系数法得到实际问题的答案，就是数学模型化思想的体现.在数学知识的形成与解决过程中，数学模型化思想起着相当重要的作用，我们常从实际问题中抽象出隐含的数学问题，先建立、研究数学模型，再学习数学概念和方法，从而解决更多的实际问题.

又如，在用数轴来研究有理数时，可隐性渗透集合与对应的思想和数形结合的思想；在用数轴表示不等式和不等式组的解时，明确渗透集合思想和数形结合的思想，把图形的直观性和代数式的严密性有机结合在一起；在表示一元二次不等式解集时，结合相应的二次函数及图像来说明，加深理解和记忆，归纳出解集在“两根之间”的线段上、“两根之外”的射线上，再次渗透了集合思想和数形结合的方法，更加体现了集合思想在解决“无限问题”上的优越性.

教学时我们要以数学知识为载体，按照年级特点、学生特征、学生对知识的掌握程度由浅入深、由易到难、分层次地贯彻数学思想方法.

四、让学生参与思维过程，实现方法—思想—方法的良性循环

学生的数学思想的发展水平最终取决于自身参与数学活动的程度，无论是在知识的形成、发展过程中，还是在解决问题和总结规律的过程中，教师都要有意设计思维“台阶”，把数学思想和方法的教学落到实处.学生“拾阶而上”，沿着预定的数学方法去尝试、揣摩、提炼、概括数学思想，在教师的点拨下加深印象、学会应用.数学方法的运用也是感性认识的发展过程，当量变引起了质变，数学思想就在潜移默化中形成了.

比如，化归思想几乎贯穿于整个初中教学的始终，具体表现为未知与已知的转化、一般与特殊的转化、局部与整体的转化；又如，为求得几何证明的思路和方法，通过引导学生对结论成立所需条件的逆向追索与逐步确认渗透分析法，再通过引导学生对从已知出发的正向推理的证明格式的整理渗透综合法；再如，在进行几何证明时常常添加辅助线、构造特殊图形，以达到化未知为已知的目的，从而渗透构造法等.

在教学中，教师要引导学生从对数学方法的强化过程中领悟数学思想，再用数学思想解决后续的相关问题，使数学方法的运用得以深化.要从“方法”了解“思想”，再用“思想”指导“方法”，使“方法”与“思想”循环统一.

比如，《数学课程标准》是在“三角形”的部分开始提出分类的思想方法的，而教材在此之前就提供了大量的分类思想的素材.我在“有理数”的教学中就开始渗透分类思想，介绍有理数的概念后，引入其按定义的分类：有理数（整数；分数），接着设置实例：将全班同学按性别分类、按学习成绩分类，再次引导学生将有理数按性质重新分类.在后继教学中结合相关的知识点，例如“绝对值的意义”，逐步熏陶、引导、利用.在“三角形分类”教學中让学生尝试将三角形分别按边分类、按角分类，在出现错误的情况下正式介绍分类的两大原则：一要按一定的标准分类，不同的标准所得的类别不同；二要保证按某一标准所得各类别之间不重不漏.然后引导学生重新用分类的思想加以讨论和纠正，从而使学生对三角形的分类上升到逻辑性认识，为新知的探索以及复杂问题的解决提供有效的途径.

数学思想是数学知识的灵魂，数学方法是数学行为.数学思想和方法为我们分析问题和解决问题提供了有效途径，对知识的发现、掌握、运用以及能力的提高起着举足轻重的作用.在这个信息量骤增，遍地黄金的时代，请不要将多给学生金子做为我们的责任，让学生都学会冶炼金子的方法才是我们的天职.endprint