巧用平移法解决存在性问题

李睿芳

在近年来的中考数学试卷中，等腰三角形、直角三角形、平行四边形的存在性问题一直是多数学生感到困惑的问题，是涉及知识点非常多的综合性问题.这类问题不仅考查学生对所学知识的应用能力，还对学生在不同情境中提取信息、作图、分析、设计方案以及计算能力都有较高要求.

存在性问题是探讨是否存在一点，使其满足某种特殊关系或图形状态的问题.通常利用全等、相似、三角函数等知识解决，但是计算量大、图形复杂、耗费时间比较长，下面介绍一种比较简单的方法——平移法.

例1：直线AB： y=■x+2 与直线CD： y=-x+5 交于一点P， 在坐标平面内是否存在一点M，使得B，P，C，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由.

分析：（1）读题标注，整合信息：

由两条直线解析式可得B（-4，0），C（0，5），P（2，3）.

（2）根据方案作图（图略），有序操作：

①以PC、BP为临边扩展平行四边形得M1.

根据平行四边形的性质得PC∥M1B，PC= M1B，借助平移，B到M1坐标的改变与P到C坐标的改变相同，由P（2，3）→C（0，5）可得，横坐标小2纵坐标大2，B（-4，0）→M1 （-4-2，0+2），即M1（-6，2）.

②以PC、BC为临边扩展平行四边形得M2.

同理由C（0，5）→P（2，3）可得，横坐标大2纵坐标小2，那么 B（-4，0）→M2（-4+2，0-2），即M2（-2，-2）.

③以BC、BP为临边扩展平行四边形得M3.

由B（-4，0）→P（2，3）可得，横坐标大6纵坐标大3，那么C（0，5）→M3（0+6，5+3），即M3（6，8）.

例2：如图1，平面直角坐标系中有两个点B（4，2）、C（0，3），P在直线上，Q在直线 y=■x上，是否存在四点P、Q、B、C构成平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.

分析：根据方案作图，有序操作.

①当BC为平行四边形的边时，把BC上下平移可得：P1Q1（图2）和P2Q2（图3）平行且等于BC的时候即可构成平行四边形.

设P1的坐标（x，-■x+3），平行四边形中由C（0，3）→P1（x，-■x+3）可得横坐标大x，纵坐标大-■x，那么 B（4，2）→Q1 （4+x，-■x+2），之后把Q1（4+x，-■x+2）代人y=■x，即可得x=-2，所以P1（-2，4）.

同理P2（5，■）.

②当BC为平行四边形的对角线时，取BC的中点E（2，■），过点E的直线在BC的两侧取点P3，Q3，当EP3=EQ3的时候构成平行四边形.

设P3的坐标 （x，-■x+3），平行四边形中由P3（x，-■x+3） →E（2，■）可得横坐标大2-x、纵坐標大■x-3+■，那么E（2，■）→Q3（2+2-x，■+■x-3+■），之后把Q3（4-x，■x+2）代人y=■x可得x=2，所以P3（2，2）.endprint