教学中设计数学探究性问题的几个案例

李瑛华

数学探究即数学的探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的过程.数学探究力即观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明的能力.数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力.

但是在数学教学中不是任何内容都能有效地运用探究的方法去组织教学，探究性的问题质量直接关系到学生的学习效度和探究取向，教师应把握好时机，精选出一些富有挑战性，能激发起学生探究兴趣，且可使学生在探究之后能获得成就感的数学问题来组织探究式的课堂教学.下面是我教学实践中设计数学探究性问题的几个案例：

例1:在平面几何中，一个极为普通的结论：两点之间距离最短，它在课本中是作为公理出现的，但这一公理在以后的推论过程中却与物理学中的光学现象发生了联系，其原因是：光线传播时走最短路线.在几何课本中有这样一个实际问题：在铁路a的同侧有两个工厂A、B，要在铁路边上建一货场C，使得A、B两厂到C的距离之和最小，求C点的位置.

在教师设计出这一问题的解之后，再从光学角度设计下列问题：设光线从A点出发，经镜面a反射后到达B点，试做出光线的传播路线图.学生就会发现这两个图完全一样，此时他们自然会提出诸如以下的问题并能够积极地展开探索活动：

问题1:光线从A点射向镜面a，反射光线与已知直线b：①平行；②垂直，试画出光线传播图.

问题2:自己设置一些使光线随意反射传播的问题.

问题3:如果设太阳光线平行地射向地球，试设计一个太阳灶.（材料：平面镜，玻璃刀，钢丝架，玻璃胶等.）

学生的这一兴趣能使课堂探究延续到课外，去动手搞些小制作，这又有利于提高他们的创造能力和动手能力.

【设计感悟】20世纪科学发展的一大特点就是交叉学科的不断涌现，科学发展呈现出既综合又分化的趋势.数学作为工具学科，在中学课程中就与其他许多学科具有很大的关联性.教师深刻挖掘数学内容与相关学科的这种联系，选择联系较强的内容，设置探究情境，呈现给学生，就会引起他们极大的探究热情，而且在探究这种问题的同时，对数学的内容和它的方法也能有较深刻的认识，学生在提高探究能力的同时，还可对相关学科的研究与学习也产生促进作用，真正起到数学的工具性学科的作用，但这些问题一般是隐藏在数学问题之中，因而需要教师在教学设计时做认真的挖掘和钻研工作.

例2：在学习“圆和圆的位置关系”时设计了一个循序渐进的探究问题：

问题1：我们生活在丰富多彩的图形世界里，圆与圆组成的图形更是我们生活中常见的画面.例如，自行车的两个轮子、奥运会的会标、美丽的双鱼图、天体中的“日环食”照片等，都反映了圆与圆的画面.请问你在生活中还见过这样的例子吗？

本设计展现生活中圆与圆组成的图形，并由学生举出实际例子，丰富学生对客观世界中两个圆之间有着多种不同的位置关系的感知，为学生自主探索提供可能.

问题2：由于圆与圆大小异同的多种不同位置，构成了多姿多彩的画面.你知道两个圆有几种不同的位置关系吗？请你模仿直线与圆的位置关系，根据公共点多少的情况画一画看.

这里不直接给出两圆的5种位置关系，而先让学生画一画，实质上是创设活动意境，让学生按公共点的个数把两圆的位置关系分类，从而描述两圆相离、相交、相切的位置关系.有利于各类学生主动参与教学活动，从而获得不同色彩的“知识”.

问题3：试一试，你能不能讲出两圆共有几种位置关系？

设计让学生运用语言来表述数学知识，训练学生的概括和表达能力，增进对数学知识的理解.最后让学生阅读课本两圆位置关系定义，通过比较和对照得到综合的规律.这样学生对两圆位置关系的印象将更深刻.

问题4：画外离的两圆，把其中一个圆的半径逐渐变大，这时又有什么现象发生？这些现象之间有相互的联系吗？

通过这个问题的探究，让学生进一步感知图形的位置关系与数量关系互相依赖，从数量关系刻画出位置关系的一种简明的符号语言，并得到两圆5种位置关系的判定和性质.最后再让学生结合课本中的内容，把探究结果综合，使知识系统化.

【设计感悟】数学具有极强的逻辑严密性，这一特点决定了数学问题解决有其独特的思维方法.一种数学思想或方法往往会渗透到不同的数学内容中去，这就使这些不同的数学内容之间以这种思想或方法为纽带建立了纵向联系，而在这种纵向联系中体现了数学的美的特征，因而掌握数学思想方法，对数学问题进行探索就具有极大的魅力，而这种纵向联系也需要教师带领学生去进行揭示、探索，因而事先去挖掘这些联系，就成为探究课选材的一个视角.数学各不同分支之间方法的互用就是一种很普遍的数学事实.如用几何方法解决代数问题等.

例3：根据以下几种构成方式，是否能发现一些其他的判定方式呢？

把对平行四边形5个判定定理列出，并对其结构进行分析，发现前4个判定定理在结构上的特点是：在条件上包含单一的四边形元素，而且包括了这种元素的全部，这些元素所满足的条件也相同.如“两组对边分别相等”所包括的元素是四边形的对边，而且两组都包括，且两组对边所满足的条件也相同，都是相等.第五个判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”在结构上与前面 4个定理不同，但又有联系，它只包括了一组对边，但这组对边却要求同时满足两个条件：相等和平行.它似乎可以被看作是从前面两个定理的条件中各取一个.（从两组对边分别平行中取一组对边平行：从两组对边分别相等中取一组对边相等）复合而成，因此，问题情境就已经明确地展现出来了.学生就可用类比拓广的方式展开探究发现的过程.

【设计感悟】长期以来，在数学教学中，问题解决在教学中得到了足够的重视，但其实更具挑战胜，更具魅力的还在于问题的提出，即通过观察、归纳、类比、一般化或特殊化等方法，依据已有结论，提出新的数学问题，再去利用演绎的方法证明或证伪.在中学数学中蕴含着许多可以拓广或推广的问题，可用来让学生在探究中提出问题.

例4：若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是____（只需写出一个可能的值）．

本题为策略开放题，过程需学生自己设计．由于四面体的棱长未一一给出，首先需探求和设计符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论．本题只要求写出一个可能的值，所以，我们可以尽量构造相对简单、易求值的图形．如：底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2．不难算得，此时体积为 .作为本题的延伸，我们可以考虑所有符合题意的图形．由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1．如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2．简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的．如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2．综上，共3种情况．如图：

【设计感悟】长期以来，我们的数学教学都在设计和解决那些条件完备且有惟一正确的标准答案的数学问题.这就很容易造成一种错觉：数学问题就是有惟一正确答案的问题，误导了学生，也阻碍了其积极参与的热情.而数学开放题具有题目条件不完备，解题策略多样化和结论的不确定等特点.开放性问题的引入，给数学教育注入活力，使学生对数学的本质产生一种新的领悟.由于这种多变性，使得学生对数学问题的探究充满激情，能够极大地发挥他们的主体作用.在选编开放性问题时，要取材于学生所熟悉的背景问题之中.在引导学生积极探索之后，可以及时地导出一般的结论或据此提出新的问题，以提高学生的概括能力和迁移能力.

（作者单位：山东省宁阳市第4中学）

编辑/张烨

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