“诡辩”反例在数学教学中的应用

杨海燕　常健　李姣

摘 要：借助“诡辩”创造性地生成教学反例，从中设置一些有思维挑战的“陷阱”，使学生在发现错误的过程中正确地建构知识。

关键词：诡辩；教学反例

学生在学习数学的过程中，源于原有知识和经验的不同、认知策略和思维方式的差异，在建立心理表征的过程中常常存在一些非标准甚至错误的观念.[1]这些错误认识都是建构活动的产物，对此数学教学中应给予重视。

老师应把错误的知识从学生的头脑中“挖”出来，通过适当的质疑或反例的设计引起学生的观念冲突，最后提供正确的解释，帮助学生进行正确和错误的对比，从而形成正确表征，以帮助学生更好地建构知识.“诡辩”再创造是实现该目标的有效措施。

所谓诡辩就是有意把真理说成谬误，简言之，就是有意颠倒是非、混淆黑白.借助“诡辩”，主观主义的玩弄一些概念，创造性地设计为诡辩案例，让学生在案例中分析错误，研究错误，参与错误的发现，并对其进行纠正，不仅能解决学生学习上的困难，而且能激发学习兴趣，调动学习积极性.如下是生成诡辩教学案例的策略。

一、置诡辩于“思维陷阱”中

对于学生对某些数学概念、公式等方面理解不透彻，而表现在判断、推理、论证及解题上的失误现象，教师可以有的放矢地编写一些具有迷惑性的题目，故意在易错环节上设置“陷阱”，诱导学生误入歧途，制造思维冲突，诱发灵感，产生真知，从而提高自我监控能力。如下例：

案例1：若，求的最小值及最大值。

错解：，故，所以

令，则，而对称轴为，所以时，而不存在。

学生吃惊，最大值不存在，是题错了？

分析：错解中故意忽略的条件，换元后直接利用二次函数的性质求解，有界性往往隐含在题目中，类似的有偶此方，指数函数圆锥曲线有界性等。

正解：因，故，所以有

令，则，故，而对称轴为，所以当时，

，当时，。

设计意图：基于学生对某些概念、法则、定理、公式等认识不够全面，在判断、推理、论证及解题上频频出错的现象，教师故意在易错环节上“挖坑”，诱导学生误入歧途，让学生在思维冲突中提高逻辑思维能力.题目中的细枝末节往往决定是否能正确的解题.而学生在解题时易忽视这些细节，走入思维陷阱，出现如上例的荒唐错误。本案例以一易出错的例子和忽视的错解告诫学生思维严谨性的重要性。数学中“因小失大”的例子很多，本例只起抛砖引玉的作用，教师可以归类，以这样的方式讲解常出现思维陷阱的习题有较强的说服力，还可以收到好的教学效果。

二、置诡辩于“思维定势”中

学生在学习中难免会记忆数学模式，形成定势思维，养成机械解决问题的习惯，对于刚学的公式、定理，学生往往容易思路单一，思维僵化，无论什么样的问题，不假思索的生搬硬套.比如刚学会利用基本不等式求最值的方法，学生没有形成每用一次基本不等式就要验证等号成立条件的意识，犯如下错误：

案例2已知求的最小值。

错解：=

=8

所以，的最小值是8。

初学不等式的学生会感觉解题过程完美无缺，怎么会是错解呢？

分析：用基本不等式解题需要三个条件，一正，二定，三相等，只有满足条件才可使用。错解中想当然地利用不等式解题，看似符合思维，却忽略了本质的东西。

正解：原式==

=4

=

由得，又因，所以+117，则原式（当且仅当时，等号成立），所以，原不等式的最小值是。

设计意图：这样的错误就是在学生刚学基本不等式时忽略不等式成立的条件经常出错的地方，解本题需要使用两次不等式，第一次等号成立的条件是，第二次等号成立的条件是。显然两个条件是不能同时成立的。通过分析，让学生初步了解不等式使用的条件，不至于下次盲目使用。

教学中，若总是无误地传授知识，学生会产生无条件接受心理，从而抑制了学生自主探究的学习欲望。因此，“错误”也不可怕，把诡辩反例引入课堂教学，学生可以在分析错误，研究错误的过程中产生质疑，从而驱动主体积极主动地思考思维对象的正确性及其依据，以引导学生定向探究和反思，这样可以加深学生对知识的理解，从而提高教学质量。

参考文献：

[1]杨红庆，李燕妮，董文军.中学教育心理学[M].西安：西北大学出版社，2011：43-46.

[2]吴建春.用再创造原则指导中学数学课堂教学[D].福建：福建师范大学，2008.

（作者单位：延安大学数学与计算机科学学院）