求空间角和距离狂练

一、单项选择题

1.在长方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为C1D1,AB中点,AB＝4,则MN与平面ADD1A1的距离为( )

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的对角线中,与AD1所成角为60°的有( )

A.4条 B.6条

C.8条 D.10条

A.30° B.60°

C.45° D.90°

4.棱长为1 的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为BC中点,则直线D1M与平面ABCD所成角的正切值为( )

(第4题)

5.三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧棱与底面垂直,若AB＝2,AA1＝1,则点A到平面A1BC的距离为( )

6.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,且AB＝BC＝AC,⊙O1为△ABC的外接圆,若⊙O1的面积为4π,球O的表面积为64π,则O到平面ABC的距离为( )

7.已知四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC＝BD＝,AB与平面ACD所成角的正切值为,则点B到平面ACD的距离为( )

8.将正方形ABCD沿对角线BD对折,使得平面ABD⊥平面BCD,有以下命题:①AC⊥BD,②△ADC为等边三角形,③AB,CD所成角为60°,④AB与平面BCD所成角为60°,则下列正确的选项为( )

A.②③④ B.①②③

C.①②④ D.①③④

9.已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD＝60°,那么以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为( )

10.(多选题)如图,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E为A1D1的中点,F为CC1上的一个动点,设由点A,E,F构成的平面为α,则( )

(第10题)

A.平面α截正方体的截面可能是三角形

B.当点F与点C1重合时,平面α截正方体的截面面积为

C.点D到平面α的距离的最大值为

D.当F为CC1的中点时,平面α截正方体的截面为五边形

11.(多选题)点C,D是平面α内的两个定点,CD＝2,点A,B在平面α的同一侧,且AC＝2BC＝4.若AC,BC与平面α所成的角分别为则下列关于四面体ABCD的说法中,正确的是( )

A.点A在空间中的运动轨迹是一个圆

B.△ABC面积的最小值为2

C.四面体ABCD体积的最大值为

D.当四面体ABCD的体积达最大时,其外接球的表面积为20π

二、填空题

12.如图,正四面体ABCD中,异面直线AB与CD所成的角为________,直线AB与底面BCD所成角的余弦值为________.

(第12题)

13.正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝2,AA1＝,D为棱A1B1的中点,则异面直线AD与CB1所成角的大小为________.

14.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB＝5,AD＝3,AA1＝7,∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝,则AC1的长为________.

(第14题)

15.如图,在棱长为1的正方体AC1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是底面ABCD上(含边界)一动点,满足A1P⊥EF,则线段A1P长度的最小值为________.

(第15题)

三、解答题

16.如图,已知A,C是以BD为直径的球O表面上两点,二面角A-BD-C大小为120°,BA＝BC＝2,AC＝3.

(1)证明:BD⊥AC；

(2)求直线AD与平面AOC所成角的正弦值.

(第16题)

17.如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA＝AD＝2,M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证:平面MND⊥平面PCD；

(2)求点P到平面MND的距离.

(第17题)

18.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,P,O分别为AC,A1C1的中点,PA1＝PC1＝

(1)求证:PO⊥平面A1B1C1；

(2)求二面角B1-PA1-C1的余弦值.

(第18题)

19.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,F为棱PA上一点,且AF＝λAP(0＜λ＜1),M为AD的中点,四棱锥P-ABCD的体积为

(1)若λ＝,N是PB的中点,求证:平面MNF∥平面PCD；

(2)是否存在λ,使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为如果存在,求出λ的值；如果不存在,说明理由.

(第19题)

20.如图是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形,AB＝2AD＝2a.将此图形沿AB折叠,使平面ABCD垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆O上异于A,B的点.

(1)证明:EA⊥EC；

(2)若异面直线AE和DC所成的角为,求三棱锥D-ACE的体积.

(第20题)

21.如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD＝90°,AD＝CD＝AB,E为AB中点,以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点P的位置,如图2所示.

(1)证明:DE⊥PC；

(2)若PC＝PD,求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的正弦值.

(第21题)

22.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,M,N,P分别为BB1,AA1,B1C1的中点.

(1)证明:直线PN∥平面AMD；

(2)若AA1⊥平面ABCD,AB＝2,AA1＝4,∠BAD＝60°,求平面AND与平面PND1所成的锐二面角的余弦值.

(第22题)

23.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,且AB＝BE＝4.

(1)求证:EG∥平面ADF；

(2)求二面角O-EF-C的正弦值；

(3)设H为线段AF上的点,且AH＝HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

(第23题)