斜面上最大静摩擦力约束的动态平衡典例分析

摘 要：最大静摩擦力和滑动摩擦力类似，与正压力成正比.斜面上的物体对斜面的正压力随斜面倾角的缓慢增大而减小，随之物体受到的最大静摩擦力随斜面倾角的缓慢增大而减小，物体的下滑力随之逐渐增大，当tanθ>μ时，物体沿斜面下滑，一旦在其他外力作用下物体缓慢下滑，保持动态平衡，似静似动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.

关键词：最大静摩擦因数；动摩擦因数；动态平衡；正弦函数曲线

作者简介：李文科（1986-），男，甘肃会宁人，大学本科学历.一级教师，主要研究教学难点突破.

本文以一道处于原长的弹簧振子处在水平木板向上，随木板逆时针缓慢旋转，滑块（振子）随木板逆时针缓慢旋转，相对木板静止，所受静摩擦力达到最大静摩擦力后，滑块开始向下缓慢滑动压缩弹簧，在最大静摩擦力等于滑动摩擦力的前提下，滑块似动非动，处于动态平衡中.分析缓慢旋转的动态过程中弹簧弹力与最大静摩擦力的关系，即弹簧弹力与木板倾角的关系，可以得到弹力与倾角的关系图线.

例题 如图1所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧.紧贴弹簧放置一质量为m的滑块，此时弹簧处于自然长度.已知滑块与板间的动摩擦因数为θ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直至板竖直，此过程中弹簧弹力的大小F随夹角θ的变化关系可能是如图2所示选项中的解析 首先分析图3.滑动摩擦力Fμ约束的水平弹簧振子，向右运动的平衡位置为O1点，向左运动的平衡位置为O2点，振子做阻尼振动，滑动摩擦力做功机械能转化为内能，最终静止在两平衡位置O1O2之间某处，而受到静摩擦力（弹簧原长处O点除外）与弹簧弹力是一对平衡力.受此启示，分析上述题目涉及的摩擦力.

此题目的物理情境与上述弹簧振子受到的静摩擦力类似，只不过水平面上的振动变成了斜面上的缓慢移动.处在斜面上的滑块是否滑动与斜面的倾角θ直接有关，分别是：（1）μ≤tanθ时，滑块滑动受滑动摩擦力作用；（2）μ>tanθ时，滑块最终静止受静摩擦力作用；（3）最大静摩擦力Fmax=μsFN（μs为最大静摩擦因数）.滑块是否滑动的临界倾角θ0，由μ=tanθ0知θ0=arctan3

3=π6.可见木板从水平位置逆时针开始旋转，倾角在π6之前，滑块相对木板静止，弹簧处于原长，弹力F1=0；倾角超过π6之后，滑块相对木板滑动，下面着重分析木板倾角θ>π6时，滑块开始下滑的情况.

木板逆时针缓慢旋转超过π6时，滑块沿木板斜面缓慢向下滑动，压缩弹簧，随着木板缓慢旋转，滑块似静似动，缓慢下滑，为一动态平衡过程，滑动摩擦力等于最大静摩擦力.自始至终滑块受到向上的最大静摩擦力Fmax=μsFN，又正压力FN=mgcosθ，即Fmax=μsmgcosθ.继续旋转木板，滑块又下滑，再一次相对静止的时候，向下的下滑力mgsinθ与向上的弹力F2和最大静摩擦力Fmax三力平衡.根据题目条件最大静摩擦力等于滑动摩擦力，动摩擦因数与最大静摩擦因数相等μ=μs，即mgsinθ=F2+μmgcosθ，弹力F2=mgsinθ-μmgcosθ=mg1+μ2sin（θ-θ2），可见弹簧弹力与倾角的关系是正弦型曲线，振幅为mg1+μ2，横轴上的截距为π6，所以选项C正确.

析评 斜面上物体下滑，在最大静摩擦力等于滑动摩擦力的前提下，即最大靜摩擦因数等于动摩擦因数时，物体在外力作用下缓慢向下滑动，一旦相对静止，受到的静摩擦力就是最大静摩擦力，这是解决问题的关键所在.