正弦型“和角”公式逆运算在物理计算中的典型运用

李文科

1 直角支架两端连接小球，绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，系统满足机械能守恒定律，系统重力势能减少量最大时，系统动能增加量最大

例1 一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图1所示.开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则

A.A球的最大速度为2gL

B.A球速度最大时，两小球的总重力势能最小

C.A、B两球的最大速度之比为2∶1

D.A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°

解析 直角支架绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，A、B两球瞬时角速度ω总相同，线速度v=ω·r，即v∝r，选项C正确；支架系统只有重力做功，系统机械能守恒，所以系统重力势能减少最大时，系统动能增加量最大.设支架系统顺时针旋转θ时，如图2所示，此位置时系统重力势能减少量为

ΔEp↓=mg·2Lsinθ-2mg·L（1-cosθ），

即ΔEp↓=2mgL（sinθ+cosθ-1），

根据正弦型“和角”公式的逆运算，

ΔEp↓=2mgL·[2（12sinθ+12cosθ）-1]，

即 ΔEp↓=2mgL·[2（cos45°sinθ+sin45°cosθ）-1]=2mgL·[2sin（θ+45°）-1].

由此可以看出当θ=45°时，系统重力势能减少量ΔEp↓取得最大值，为ΔEpmax↓=2（2-1）mgL；那么系统动能增加量最大，且相等

ΔEk↑=12·2mv2B+12m（2vB）2=3mv2B

=ΔEpmax↓=2（2-1）mgL，

得vB=2（2-1）3gL，

vA=22（2-1）3gL.

所以选项A错误，选项B、D正确.

析评 系统机械能守恒，列出方程，符合正弦型和角公式，系统顺时针旋转45°重力势能减少最多，系统动能增加最大，即按正弦函数“和角”公式运算处理是解决问题的关键所在.

2 惯性系中加速运动的乒乓球的加速度按正弦型和角公式化简，得到惯性系球拍与水平面的夹角（倾角）

例2 （2012年重庆）某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s.比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点.整个过程中球一直保持在球拍中心不动.比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0，如图3所示.设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g.求：（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；

（2）求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；

（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边缘掉落，求β应满足的条件.

解析 （1）如图4所示，球拍在匀速运动阶段有kv0=mgtanθ0，得比例系数k=mgtanθ0v0.

（2）如图5所示，球拍在加速阶段，取相同加速度的物体为非惯性参考系，加上惯性力f*=ma，空气阻力Ff′=kv，则Ff′+f*=mgtanθ，即kv+ma=mgtanθ，即

v=1k（mgtanθ-ma），

由比例系数k=mgtanθ0v0得v=v0（gtanθ-a）gtanθ0.

（3）球拍倾角为θ0+β，以速度v0匀速跑阶段，乒乓球在球拍这个惯性系中沿球拍表面向下做初速度为零的匀加速直线运动，球拍沿比赛轨道以速度v0匀速运动到终点时，乒乓球在球拍上运动位移x≤r，需要时间t=sv0-v02a.在球拍参考系中，乒乓球运动的加速度

a′=gsin（θ0+β）-kv0-cos（θ0+β）m，

由比例系数k=mgtanθ0v0，

得a′=gsin（θ0+β）-gtanθ0cos（θ0+β）；

整理得a′=g1+tan2θ0（11+tan2θ0sin（θ0+β）-tanθ01+tan2θ0cos（θ0+β）

=g1+tan2θ0sin（θ0+β-α）.

如图7所示，角α=arctan（tanθ0）=θ0，

所以a′=g1+tan2θ0sinβ，

即在球拍上乒乓球的位移x=12a′t2≤r，

即12g1+tan2θ0sinβ（sv0-v02a）2≤r，

sinβ≤2rv20g（sv0-v02a）21+tan2θ0=2rcosθ0g（sv0-v02a）2.

析评 乒乓球的加速度的表达式是关于球拍倾角增量的函数，就表达式进行化简，来确定球拍倾角的具体值，得到加速度的具体值是题设的绝妙之处，也是解题的最佳方法.

3 沿斜面向上運动的小木块的加速度a=-g（sinθ+μcosθ），位移x=v202a存在极小值

例3 如图8所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ=30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑.若让该小木块从木板的底端每次都以v0的速度沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板滑行的距离将发生变化，重力加速度为g.

（1）求小木块与木板间的动摩擦因数μ；

（2）当θ角满足什么条件时，小木块沿木板滑行的距离最小，并求出此最小值.

解析 （1）由平衡态知μ=tan30°=33；

（2）根据牛顿第二定律，当小木块向上运动时，加速度为

a=-g（sinθ+μcosθ），

由公式2ax=v2-v20，

知小木块上滑的位移 x=v202a=v202g（sinθ+μcosθ）；

即 x=v202g（sinθ+μcosθ）

=v202g1+μ2（11+μ2sinθ+μ1+μ2cosθ），

又μ=tan30°，

因此x=v202g1+μ2sin（θ+30°），

所以xmin=v202g1+μ2=3v204g.

析评 此情况下，小木块沿斜面向上运动的加速度存在极大值，与动摩擦因数μ有关，位移与加速度有关，可见位移大小由动摩擦因数μ决定.

物理学家费米曾经说过这样一段话：“计算的途径有两种，第一种，是我愿意采用的，即一副清晰的图像；第二种，是严格的数学架构.”