一道竞赛练习题的多视角分析

赖贤明　江立坤

舒幼生老师主编的《高中物理竞赛培优教程》一书中第470页有一道运用费马原理解决运动学问题的经典练习题，现摘录如下.

如图1所示，AC是东西走向的马车道，它的北面是一片沙砾地带，人在上面行驶速度只有6 km/h，而马车道上马车的速度为10 km/h.已知BD=12 km，AD=16 km.则一人要从A地走到B地所需要的最短时间是多少？

解 用类比法把AC看成两种介质的分界面，沿AC方向运动视为一束入射角为90°的光，可知当按光的折射定律运动时，所用时间最短.如图2所示，设AEB为所求的路径，则

sin90°sin∠EBD=v1v2，

式子中v1=10 km/h，v2=6 km/h分别为坐马车和步行的速度，由式可得

sin∠EBD=v2v1=0.6，

tan∠EBD=0.75，

因此DE=0.75BD=9.0 km，

AE=AD-DE=7.0 km，

BE=1.25BD=15 km，

t=AEv1+BEv2=3.2 h.

此题运用费马原理解决，具有一定的优势，首先，将光学的基本原理迁移到运动学中来，有利于加强学生对两方面知识的理解；另外，与光沿着所需时间为极值的路径传播相类比，将未知变为已知，大大简化了计算过程，使问题的解决过程清晰明朗.

但是，费马原理毕竟不是学生所熟知的内容，理解其内涵已属不易，要灵活运用难度更大.而且在中学阶段，极值问题一般采用如三角函数、重要不等式、判别式、求导等数学方法处理.下面笔者从三角函数、判别式、导数等三个方面对此问题重新审视求解，具体如下.

解 如图2所示，假设∠BED=θ，由数学知识可知，人要从A地走到B地所需要时间满足

t=LADv1+LBD（1v2sinθ-cosθv1sinθ），

现在要求t的最小值，只要求1v2sinθ-cosθv1sinθ的最小值.

方法1 三角函数法

令y=1v2sinθ-cosθv1sinθ，

代入数据，并整理得y=4sinθ230cosθ2+cosθ230sinθ2，由重要不等式可知当

4sinθ230cosθ2=cosθ230sinθ2时有最小值，

也就是4sin2θ2=cos2θ2，

再结合 ，可以求出sin2θ2+cos2θ2=1，

也就是sinθ=45，cotθ=34.

也就是说sinθ=45时，时间t有最小值，

代入计算得t=3.2 h.

方法2 判别式法

令y=1v2sinθ-cosθv1sinθ，将两边平方，整理得

y2=v21-2v1v2cosθ+（v2cosθ）2（v1v2）2（1-cos2θ），

因为上式化成一个关于cosθ的一元二次方程

[（v1v2）2y2+v22]cos2θ-2v1v2cosθ+v21（1-v22y2）=0，

则对应每一个实际可能的过程，都应该有实数解，故

Δ=4（v1v2）2-4[（v1v2）2y2+v22]v21（1-v22y2）≥0，

解得y2≥v21-v22（v1v2）2，

代入相关数据可求得y≥860，

即t=LAD v1+LBDy=3.2 h.

方法3 求导法

令y=1v2sinθ-cosθv1sinθ，现在只要求y的最小值，将y看作是θ的函数，要求y的最小值，只要求出y对θ的导数

y′=-cosθv2（sinθ）2--cos2θ-sin2θv1（sinθ）2，

令y′=0，也就是-v1cosθ+v2=0，求得cosθ=v2v1=35.所以sinθ=45，計算得y=860，即t=LADv1+LBDy=3.2 h.

上面的三种方法都是学生所熟知的求极值的方法，虽然对数学功底要求较高，但是都能很好的体现新课标的应用数学知识解决物理问题的理念.