连接体运动的隐性力学特征及其应用

黄健康

两个或多个物体紧靠在一起、叠在一起或用不可伸长的线连接在一起的运动，统称为连接体运动.沿运动方向或绳子轴线方向相连的物体速度和加速度大小时时刻刻都相等，这是大家都普遍知道的显性特征.但是，很多人却不知道连接体运动还隐藏着其它典型的力学特征，也就无法灵活运用这些特征快速解决相关物理问题了.

下面，我们通过对连接体运动的深入探讨研究，寻找并把握其隐性力学特征，以便灵活运用这些特征快速解决相关物理问题.

1 连接体运动隐性力的特征的探寻

情形1：物体紧靠在一起或牵拉着一起沿斜面运动

当两物体紧靠在一起沿斜面向上运动（如图1），或者牵拉着一起沿斜面向上运动（如图2）时，设两物体与斜面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，两物体间相互作用力大小为F12.对整体和物体m2建立牛顿第二定律关系式，可知

F12=F1-μ1m1gcosθ）m2+（F2+μ2m2gcosθ）m1m1+m2.

通过分析可知，F1′=F1-μ1m1gcosθ实质是将作用在物体1上的摩擦力视为F1的一部分；F2′=F2+μ2m2gcosθ，实质是将作用在物体2上的摩擦力视为F2的一部分.故两物体间相互作用力存在

F12=F1′m2+F2′m1m1+m2关系.

当两物体紧靠在一起沿斜面向下运动或者牵拉着一起沿斜面向下运动时，对整体和物体m2建立牛顿第二定律关系式，可知

F12=（F1+μ1m1gcosθ）m2+（F2-μ2m2gcosθ）m1m1+m2.

通过分析可知，F1′=F1+μ1m1gcosθ实质也是将作用在物体1上的摩擦力视为F1的一部分；F2′=F2-μ2m2gcosθ实质也是将作用在物体2上的摩擦力视为F2的一部分.因此两物体间相互作用力也存在F12=F1′m2+F2′m1m1+m2关系.

当μ1=μ2时，F12=F1m2+F2m1m1+m2，可以看出两物体间相互作用力大小F12与重力、倾角θ及动摩擦因数μ大小均无关.

情形2：物体叠在一起沿斜面运动

如图3，两物体无论以加速度a沿斜面向上加速运动还是沿斜面向下加速运动时，两物体间的平行斜面方向的相互作用力F12其实都是静摩擦力.

物体m2沿斜面向上加速运动时，作用在其下表面的滑动摩擦力沿斜面向下，作用在其上表面的摩擦力沿斜面向上，作用在物体m1下表面的摩擦力方向沿斜面向下，对整体和物体m2建立牛顿第二定律关系式，可知

F12=F1m2+[F2+μ（m1+m2）gcosθ]m1m1+m2.

通過分析可知，F2′=F2+μ（m1+m2）gcosθ实质是将物体2下表面的滑动摩擦力看成F2一部分结果，因此两物体间的平行斜面方向的相互作用力也存在F12=F1m2+F2′m1m1+m2关系.

同理，当两物体以加速度a沿斜面向下加速运动时，对整体和m1（或m2）建立牛顿第二定律关系式，可知

F12=F1m2+[F2-μ（m1+m2）gcosθ]m1m1+m.

通过分析可知，F2′=F2+μ（m1+m2）gcosθ，实质也是将物体2下表面的滑动摩擦力看成F2一部分，叠体间沿运动方向的相互作用力大小同样满足F12=F1m2+F2′m1m1+m2关系.

从上面探讨可以看出，只要我们将作用在物体上的滑动摩擦力“移离”斜面，看成作用在本身物体上推力（或拉力）的一部分，则连接体运动的物体间沿运动方向的相互作用力大小，均满足F12=F1m2+F2m1m1+m2关系.这无疑是连接体运动隐含的作用力关系特征.

知道连接体运动隐含的作用力关系特征，我们可以快速解决相关物体问题.

例1 如图4所示，两矩形物块A、B质量均为m，叠放在一个竖立着的弹簧上，弹簧的劲度系数为k，质量可忽略不计.今用一竖直向下的力F压物块A，弹簧在F作用下又缩短了Δl（仍在弹性限度内），突然撤去外力F，此时A对B的压力大小为

①F ②F+mg ③kΔl2-mg ④kΔl2+mg

分析与解 本题相当于图1两物体互相靠在一起运动情形，而且属于μ=0、θ=90°特殊情形，故A、B之间作用力满足FAB=FAmB+FBmamA+mB关系.

设物块A、B叠放在弹簧上时弹簧压缩量为x，不施加力F时2mg=kx；施加力F后整体力平衡，F+2mg=k（x+Δl），F=kΔl.突然撤去外力F瞬间，作用在B上的弹簧弹力大小仍为k（x+Δl）=F+2mg=kΔl+2mg.

将图4与图1对比可看出FA=0、FB=k（x+Δl）=kΔl+2mg，故A对B的压力大小

FAB=FAmB+FBmAmA+mB=kΔl2+mg=F2+mg

，选项④正确.

例2 如图5，质量为 的物体A 放置在质量为 的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐振动，振动过程中A、B之间无相对运动.设弹簧的劲度系数为 .当物体离开平衡位置的位移为 时，A、 图5

B间摩擦力的大小等于

（A） 0； （B） ；

（C） ； （D） .

解：将图5与图3对比，可知 ， ， ， ， ， .故A、B间摩擦力大小 ，选项（D）正确.

2 连接体运动隐性能量特征的探寻

连接体运动时，有可能运动的高低位置发生变化，也有可能会额外牵引或挤压弹簧，这些过程，往往会造成系统能量变化，运动形式也可能表现出某些特征.了解并把握这些特征，有助问题的分析解决.

对于系统，从能量守恒角度来说，做多少功，便要转化多少能.设想系统受到人为外界拉力F作用，则人为外界拉力的做功，便等于系统总能量的增量.也即

WF=ΔE总=E总′-E总=（Q+Ek′+Ep′+Ep弹′+ε′）-（Ek+Ep+Ep弹+ε），

也即WF=ΔE总=E总′-E总=Q+ΔEk+ΔEp+ΔEp弹+Δe.

这是连接体运动表现出的通用能量关系式，这可以说是连接体运动的另一个重要的隐性力学特征.该式通过对系统内两个物体各自建立动能定理表达式，也可获得.

该式有极强的通用性和易操作性.不过，为防止列式时出现重复量，列式时要注意以下几点：

（1）式中等号右边的变化量均是后来能与原来能之差.

（2）如果已经将某系统中某部分重力视为外界拉力F，则该部分重力对应部分的势能变化量就不能包含在ΔEp内；若是全部重力视为外界拉力，则等号右边就不能包含全部势能变化量ΔEp.

（3）物体摩擦发热Q=f·s相对.式中s相对是物体相对接触面移动的距离.

（4）没有摩擦发热，等号右边式中Q不能列入；没有弹簧，等号右边式中ΔEp弹不能列入；没有电场，等号右边式中电势能变化量Δε不能列入.

利用连接体运动通用的隐性能量关系式，我们可以快速解决相关物理解决问题.

例3 如图6所示，一轻质弹簧下端与固定挡板相连，上端与放在倾角θ=30°的光滑斜面上的小车A相接触（未连接）.小車A质量M=3 kg，内有质量m0=1 kg的砝码，小车A又与 一跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端相连，绳另一端悬挂着物体B，B的下面又挂着物体C，B和C质量均为m=1 kg，A，B，C

均处于静止状态.现剪断B和C之间的绳子，则A和B开始做振幅为d=5 cm的简谐运动，斜面足够长且始终静止.（g取10 m/s2） 试求：（1）剪断绳子的瞬间小车A的加速度大小；（2）剪断绳子后弹簧的最大弹性势能；（3）当小车A运动到最低点时，取走小车内的砝码，此后小车A沿斜面上滑的最大距离.

分析与解 （1）（本小题过程略）

（2）小车沿斜面向下运动到2d距离处，速度为零，弹性势能最大.设该弹性势能为Ep弹.不妨将物体B的重力视为外界恒定拉力，则

WF=-mg·2d，ΔEk=0，

ΔEp=0-（M+m0）g·2dsin30°，

ΔEp弹=Ep弹-0，

将上述量代入WF=ΔE总=E′-E总=ΔEk+ΔEp+ΔEp弹，

可求得ΔEp弹=1 J.

（3）取走小车内砝码，小车A沿斜面上滑会脱离弹簧，弹性势能会减小为零.设小车上滑距离为s.不妨仍将小车B的重力视为外界恒定拉力，则

WF=mg·s， ΔEk=0，

ΔEp=Mg·ssin30°-0，

ΔEp弹=0-Ep弹=-1 J.

将上述量代入

WF=ΔE总=E总′-E总=ΔEk+ΔEp+ΔEp弹，

可求得s=0.2 m.