“微元”法在中学物理中的应用

董刚

近几年无论是在高考中还是在竞赛中利用微元法进行解答的题目出现的几率在增大，有的老师可能说这些问题可以用高等数学中的积分进行求解.但是在各地区的数学教学中积分不是作为必修的知识点，有的地区不进行积分的教学的.所以笔者认为我们在平时的物理教学中还是应该多注重“微元”这种思维方式的教学，“微元”法是指在处理问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法.这是一种深刻的思维方法，是先分割逼近，找到规律，再累计求和，达到了解整体.是对某事件做整体的观察后，取出该事件的某一微小单元进行分析，通过对微元的细节的物理分析和描述，最终解决整体的方法.

通过对微元法的分析学习对培养中学生的思维能力和综合分析能力是有益的.下面举例来说明微元法在中学物理中的应用，希望起“抛砖引玉”之作用.

首先，我们来看一下在人教版必修一中对于匀变速直线运动的位移的处理过程.

通过v-t图像，研究以初速度v0做匀变速直线运动的物体，在时间t内发生的位移.物体的v-t图像如图1所示.先把物体的运动分成几个小段，例如（1/5）t算一个小段，在v-t图中，每一小段起始时刻的瞬时速度由相应的纵坐标表示（图2）.我们以每一小段起始时刻的速度乘以时间的（1/5）t近似地当做个小段中物体的位移，各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表.5个小矩形面积的和，近似的代表在整个过程中的位移.为了更精确一些可以把过程划分为更多的小段，如图3，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移.从图中看就是用更多但更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移.可以想象，如果把整个过程划分的非常非常细，很多很多小矩形的面积和就能准确的代表物体的位移了，这是，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不见了，这些小矩形合在一起成了一个梯形的面积.及这个梯形的面积代表了物体的位移.

同理如果物体的运动不是匀变速直线运动，而是非匀变速运动也是适用的，即v-t图像图线与时间轴围成的面积同样表示位移.

用数学表达式的形式表述为

v1Δt+v2Δt+v3Δt+…+vnΔt=x，

vn表示每一小段起始时刻的速度，Δt表示每一小段的时间间隔x表示总位移.

以上教材对物体的位移的分析就是用到了微元的思想，现把与之相关的一些整理如下：

（1）加速度与时间的图像可以分析得出：无论是匀变速直线运动还是非匀变速直线运动的图像图线与时间轴围成的面积表示速度的变化量.

用数学表达式的形式表述为

a1Δt+a2Δt+a3Δt+…+anΔt=Δv，

an表示每一小段起始时刻的加速度、Δt表示每一小段的时间间隔、Δv表示总速度改变量.

（2）力与位移的图像可以分析得出：无论是恒力随位移变化的图像还是变力随位移变化的图像，图线与位移轴围成的面积都表示力所做的总功.

用数学表达式的形式表述为

F1Δs+F2Δs+F3Δs+…+FnΔs+W，

Fn表示每一小段起始时刻的力、Δs表示每一小段的位移、W表示总功.

（3）电流与时间的图像可以分析得出：无论是恒定的电流还是变化的电流，图像与时间轴所围成的面积表示电量.

用数学表达式的形式表述为

I1Δt+I2Δt+I3Δt+…+InΔt=Q，

In表示每一小段起始时刻的电流强度、Δt表示每一小段的时间间隔，Q表示总电量.

下面从几个具体的例子来分析如何应用微元的思想来解决一些具体的问题.

例1 （2014年江苏高考第4题）如图5所示，一圆环上均匀分布着正电荷， x 轴垂直于环面且过圆心O. 下列关于x 轴上的电场强度和电势的说法中正确的是

A.O点的电场强度为零，电势最低

B.O点的电场强度为零，电势最高

C.从O点沿x 轴正方向，电场强度减小，电势升高

D.从O点沿x 轴正方向，电场强度增大，电势降低

解析 分析时我们可以把带电圆环分解成无数段每一段可以看成一个带有相同电荷量的正点电荷那么我们就可以利用点电荷的性质来求解场强，在进行矢量叠加.求解过程如下，取圆环上关于O点对称的两个单元，这两个单元在o点产生的电场强度大小相等方向相反，合场强为零，同理其它圆环上关于O点对称的两个单元在o点产生的合场强也为0，即o的电场强度为零.在取圆环上关于O点对称的两个单元，这两个单元在a点产生的电场强度根据矢量叠加如图6所示，同理其它圆环上关于O点对称的两个单元在a点产生的合场强也向右，即o点右侧电场线从O点指向右.同理o点左侧电场线从o点指向左，根据“沿电场方向电势降落”，所以O点的电最高，B正确.求解本题的思维方法就是利用了“微元法”，是先分割逼近，找到规律，再累计求和，达到了解整体.

例2 我们来看一下（2008年江苏物理高考试卷的第14题）在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在0点静止释放，小球的运动曲线如图7所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g.求：（1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v；（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E>mg/q）的匀强电场时，小球从0点静止释放后获得的最大速率vm.

解析 我们来看一下第三问给出的答案：小球运动如图8所示，

由动能定理（qE-mg）|ym|=12mv2m，

由圆周运动qvmB+mg-qE=mv2mR，

由以上两式及R=2|ym|，解得vm=2qB（qE-mg）.

在这个答案中直接的应用了只有在重力作用下的一个条件，曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍.但是在第三问中物体所受到的力已经发生改变，是否能直接应用呢，是否需要进行验证呢.

下面我们来分析当力改变以后最低点曲率半径与到x轴距离的关系.对上升过程中任意点受力分析如图9所示重力G 电场力F 洛伦兹力f .根据动能定理可知在最高点速度最大. 把洛伦兹力f分解水平方向fx竖直方向fy .在下落阶段受力分析如图10所示，可知在最高点沿着y轴方向速度为零，在x轴负方向速度最大.

在对上升阶段任意时刻fx=qBvyi，vyi为该时刻y轴方向上的速度如图11，

在该时刻沿着x轴负方向上的加速度

axi=fxm=qBvyim，

以该时刻为起点取一段极小的时间间隔Δt，在这一段时间内我们认为axi没有发生变化.

则在这一小段时间间隔沿着x轴负方向速度的改变量Δvxi=axi×Δt.

从零时刻起到最高点这段时间内依次取一小段一小段的时间间隔Δt则在x轴负方向有

在第1个Δt时间内 Δvx1=ax1×Δt=qBmvy1Δt，

在第2个Δt时间内 Δvx2=ax2×Δt=qBmvy2Δt，

在第3个Δt时间内 Δvx3=ax3×Δt=qBmvy3Δt，

在第n个Δt时间内 Δvxn=axn×Δt=qBmvynΔt，

把以上n个式子相加Δvx1+Δvx2+Δvx3+…+Δvxn=qBm（vy1Δt+vy2Δt+vy3Δt+…+vynΔt），

等号左边Δvx1+Δvx2+Δvx3+…+Δvxn=Δvx=vm-0=vm，

等号右边（vy1Δt+vy2Δt+vy3Δt+…+vynΔt）=ym，

即vm=qBmym，做到这我们就可以分析出 与 的关系在与⑥式联列就可以求解了.

那么我们看出在这里面我们仍然用到了微元的思想进行求解.

从上面不难看出：微元法的解題思路是①选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时变化问题的困难）；②利用数学“极限”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分利用数学工具，既完成问题“转化”且保证所求问题的性质不变，又能简单地求得结果）.而学生通过上述过程的思考对学生的思维能力和综合分析能力的提高会有很大的帮助.