数列中最值问题的求解方法

江苏省吴江中等专业学校 李士荣

求解数列最值问题首先要考虑的是能否确定数列的通项公式，一旦通项公式确定，问题就简单多了。如果在求解的过程中发现数列的通项公式无法求解，那么此时能够使用的“伤害最高”的武器就是构造法，构造一个与题干中所给的数列形式相近的新函数，从新函数入手进行分析，从而确定最值。

一、小试牛刀，求数列最大项或最小项的最值

数列问题往往不单独考查，会与函数等知识点综合起来，欲求原数列最值，通常可以先结合数列的单调性，当anan+1时，{an}是递减数列。在众多数列最值问题求解时，数列单调性往往是一种重要的手段，尤其是在解决选择题、填空题时具备显著的优势。

二、情景应用，求满足数列的特定条件的最值

确定数列的最值问题是对数列本身的形式进行分析，一般情况下用函数法，即根据数列的形式构造新函数，并对新函数的最值进行分析，从而确定原数列的最值。

三、场景迁移，求数列满足条件的参数的最值

对于该类问题，首先需要观察数列特征，对于某些看似形式复杂的数列而言，可以运用裂项的方式进行“消除”，这其实是整理数列形式的过程，也是必不可少的一个环节。当然，并不是所有的数列都可以通过化简的方式进行整理，此时就可以考虑函数法进行求解。根据数列形式设出函数关系式，并对函数关系式进行分析，从而确定最值，不过在该过程中，函数的自变量存在范围限制。

对于这种分式型的数列问题，首先要考虑的就是形式的转化，因为将原数列转变为单式型的数列问题或者是整式型的数列问题更利于思考。

四、拓展提升，求数列双变量参数最值

该类问题是数列中的常见问题之一。要求确定某个最值，根据最值确定已知数列的有关参数。针对该类问题，首先要做的是挖掘隐含条件，然后对最值的形式进行转化，再进一步分析，在确定了最值后，一般情况下数列的形式也就确定了，由此可以再确定需要求参数值。

上述例题看上去是一道数列求取参数的问题，但实际上是确定a3+a4+a5最值的问题。结合题干中的信息可得z=3a1+9d，但是对于该类双变量问题，直接思考的难度过高，可以结合题干信息对数列形式进行转化，这一转化过程是学生在面对该类问题时必须要具备的能力。

综上，数列的最值问题并不是什么“疑难杂症”，只要“对症下药”也是可以快速解决的，其解法总结起来就是，能确定数列通项公式的先确定其通项公式，如果无法确定数列的通项公式，可以考虑运用构造法构建新函数，从而对函数形式进行分析，最终确定其最值。