图式表达：促进学生的数学概念学习

江苏省南通市海门区正余小学 张 霞

所谓“图式”，是指“一个心理活动框架或组织结构”（皮亚杰语）。对于小学生来说，建构一个概念，不是机械地识记概念定义，而是能理解概念的意义。只有理解了概念的意义，才能精准地把握概念的内涵与外延。图式表达，能够促进学生对概念的意义建构。

一、图式表达：找准概念的生成点

数学概念具有二重属性，即对象性和过程性。数学概念的对象属性，说明了数学概念具有丰富的内涵、外延；而数学概念的过程属性，说明了数学概念具有丰富的背景、诞生的历程。引导学生建构数学概念，就是要让学生经历数学概念的诞生历程，了解数学概念的诞生背景，从而把握概念的内涵与外延。图式表达，首先就是要找准数学概念的生成点。只有找到生成点，才能让数学概念与学生学习有效融合。

例如，教学《分数的意义》（苏教版五年级下册），首先要让学生建构“单位‘1’”的概念，其次要让学生建构“分数”的概念。“单位‘1’”的概念建构是“分数”概念建构的意义起点。只有引导学生建立了“单位‘1’”的概念，才能建构“分数”的概念。其中，几个对象组成的整体是“单位‘1’”概念建构的重中之重。无论是“单位‘1’”的概念建构还是“分数”概念的建构，都需要教师运用图式来进行表达。比如，将一个蛋糕平均分成四份，表示其中的三份；将一米长的线段平均分成四份，表示其中的三份；将一些图形组成的一个整体平均分成四份，表示其中的三份，等等。通过丰富的图式，学生能对一个物体、一个计量单位、许多物体组成的整体进行抽象概括，建构“单位‘1’”的概念。在对图式进行变式操作中，比如针对同样的对象进行不同的平均分操作，针对不同的对象进行相同的平均分操作，能让学生建构分数的概念，把握分数的基本内涵。在这个过程中，学生能认识到“分数”与“平均分的份数”，即“表示的份数”相关，因而，有学生在学习中就认为“分数就是‘几份之几’”。这样生本化的图式表达，与“几分之几”的教材中的分数表达有异曲同工之妙，即“几分之几”是基于分数概念的过程性属性表达的，而“几份之几”是基于分数概念的对象性（结果性）属性表达的。

图式是揭示数学对象性质的有力工具，能让学生借助视觉编码完成文字编码，进而理解对象的本质属性。在数学概念教学中，运用图式能引导学生主动地对概念进行意义建构。借助于图式表达，能激发学生的数学思维，催生学生的数学想象。借助图式表达，学生能在心里建立概念的表象，明晰概念的逻辑意义。

二、图式表达：找准概念的生长点

学生的数学概念学习，从某种意义上说，就是一个从心理图式“不平衡”走向“平衡”的过程，在这个过程中，学生要积极进行概念的同化与顺应。图式表达，可以促进概念的同化与顺应，从而促进数学概念的自然生长。

比如，“高”这个数学概念是一个生长性的概念。在日常生活中，学生往往容易形成这样的概念性迷思，即生活世界中的“竖直高”对数学世界中的“垂直高”的影响。因此，在“高”这个数学概念的建构过程中，教师要给学生提供多样化、变式性的图式，从而引导学生舍弃概念的非本质属性，建立概念的本质属性。在苏教版教材中，最早的“高”的概念的学习，“认识垂线”是基础，其中包括两个方面的内容：一是“两条直线相互垂直”，二是“点到直线的距离”。通过“直线外的一点向直线引一些线段，得出点到直线的距离最短”，从而在学生心中建立“垂直”的表象。在此基础上，教师可以借助多媒体课件用旋转的方法变换直线的位置，让学生直观感知到“垂直”不同于“竖直”，“垂直”不一定是向下的，“垂直”一定是两条直线相交成直角。这就为学生学习“三角形的高”“平行四边形的高”“梯形的高”（苏教版四年级下册）等奠定了坚实的基础。同样，在学生学习“三角形的高”的概念时，教师同样可以通过图式变换，如“不同三角形不同底边上的高”以及“同一三角形不同底边上的高”等，让学生建构三角形的“高”的概念。对于“平行四边形的高”“梯形的高”的概念的建构同样如此。教学中，教师不仅要通过正面图式、变式图式引导学生建构概念，而且要通过反面图式引导学生分化概念，从而让概念的建构更稳固、更牢靠。

图式表达有助于学生把握概念的本质属性，从而能让概念的内涵、外延精致化、精准化。图式表达可以是动作图式的表达，也可以是言语图式的表达。而外在图式表达的根本目的是建立学生内在的表象图式、思维图式以及想象图式。只有当学生建立了内在的图式，学生才能在心理上把握概念的内涵以及外延，理解概念的数学本质。

三、图式表达：找准概念的生发点

数学概念与概念之间存在着关联。教师不仅要引导学生通过概念的建构认识概念的本质，更要通过概念的关联认识概念的本质。一个概念，只有放置到概念系、概念群、概念网之中才能获得真正的理解。因此，图式表达不仅要重视概念的生成、生长，还要重视概念的生发，通过概念的生发，让学生把握概念结构，建构概念体系。

借助图式表达，能让概念有效地纳入概念结构、概念体系。借助概念结构、体系，学生能明确概念与概念之间的因果关系、属种关系等。比如，教学《平行四边形的认识》（苏教版四年级下册）时，对于“平行四边形”这样一个概念，教师不仅要呈现“一般平行四边形”的图式，更要呈现“特殊平行四边形，如长方形、菱形、正方形”的图式，通过不同的图形图式，引导学生辨析“长方形是否是平行四边形”“菱形是否是平行四边形”“正方形是否是平行四边形”等。通过图式比较，学生从平行四边形的“两组对边分别平行”或者“一组对边平行且相等”等特质出发，建构“长方形”“菱形”以及“正方形”的概念。比如，从平行四边形到长方形的图式引领，学生认识到“有一个角是直角的平行四边形是长方形”，进而认识到“有三个角是直角的四边形是长方形”。在数学教学中，概念的生发是相互的，如从平行四边形到正方形，从长方形到正方形，从菱形到正方形，学生认识到，“有一组邻边相等的长方形是正方形”“有一个角是直角的菱形是正方形”“有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形”等等。借助图式表达，数学概念相互生发，进而建构了平行四边形的家族性概念体系。

学生建构数学概念的过程是一个由浅入深、由此及彼、由表及里的逐步深化过程。图式表达契合了学生的心理特点和年龄特征，是学生进行数学概念学习重要的工具、手段和方法。借助图式表达，学生不仅能建构数学概念，形成概念的本质性理解，而且能有效地完善数学概念结构，形成概念的结构性理解。教师要充分发挥图式的导学功能，不断发展学生的概念建构力，提升学生的概念理解力，真正实现学生与数学概念的意义融通。