配方法应用攻略

江苏省扬州市田家炳实验中学 宋 扬

数学中的配方法通常是指将一个式子或式子的部分化成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，是一种重要的恒等变形，其作用在于利用完全平方式的非负性挖掘问题的隐含条件，揭示内在的本质联系，体现了一种“化归”的思想，为解决问题开辟了新境界，提供了新途径。

配方法主要来自一元二次方程求根公式的推导以及二次函数(抛物线)的顶点式，其应用已经渗透到数学的方方面面，无论是代数的五大板块(数、式、方程、不等式、函数)，还是几何图形等问题，都可能用到配方法。在应用方式上有较大的灵活性，拓展空间非常广阔，从一元到多元，从二次式到一般解析式，都可以迁移或综合运用。从实际需要出发，不必限于整体的配方，有时可考虑局部配方。配方类型大致可分为普通型(含拆添配凑)、组合型、构造型、综合型，形式多样，不拘一格。配方法应用的总体策略是：以配方法为思维导向，根据问题的数学表达式的特征(或特点)采用相应的对策，选择合适的配方，实施有效转化，让问题最终解决。具体对策分别列于以下各题之后。

一、用于简化复杂的计算

类型对策：先配方，然后代入。

二、用于整数性质的研究

例2 ：若一个正整数a恰好等于某一个正整数b的平方，则称a为一个完全平方数。设a=20192+20192×20202+20202，试证a是一个完全平方数。

类型对策：设元，将整体配方，配成完全平方式。

三、用于求代数式的值

类型对策：将配方法拓展到分式，综合运用了倒数法和配方法。

四、用于比较两个式子(值)的大小

思路点睛：可采用作差比较法列式(组合型)，然后配方求解。

五、用于因式分解

例6：在实数范围内分解因式：a4+1。

思路点睛：可添项，配成平方差，然后运用平方差公式。

六、用于探求二次多项式(含多元)的最值

思路点睛：可采用主元法，分两步配方，或用根的判别式结合配方法求解。

七、用于解多元方程(组)或不等式(组)

八、在不等式（含条件不等式）证明中的应用

类型对策：构造型。本题利用转换等价命题构造完全平方式，然后在推理过程中使用配方法，配成平方和。

九、对可化为一元二次函数问题的应用

类型对策：先建立相应的二次函数，然后配成顶点式。

十、在几何图形问题中的应用

思路点睛：先移项、拆项，然后配成平方和。（答案为等腰直角三角形）

十一、与因式分解、解方程等知识点的综合运用