一道几何题的剖析与反思

江苏省丹阳市折柳初级中学 陈 晖

一道好的例题往往有较好的探究价值，能够开阔学生的视野，拓宽学生的思维，有较大的发展空间。教师应带领学生循序渐进，层层深入，探索问题的本质，揭示其蕴含的数学思想方法，举一反三，使学生形成较好的学习品质。

题目：如图1，D是等边三角形ABC边AB上的一点，且AD∶DB=1 ∶2，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE∶CF= （ ）。

图1

本题考查了翻折变换的性质及其应用问题，涉及相似三角形的判定与性质，综合性较强。学生找到相似后，却无从下手，感觉缺少数据，有“山重水复疑无路”之困。

设：DE=x，DF=y，AD=a，

则DB=2a，AC=3a，AE=3a-x，BF=3a-y，

由此可得：2ax=3ay-xy，ay=3ax-xy，

故答案为B。

解后，感觉此法确实较难。那么是否还有巧妙的解法？于是重新审题观察，发现可用相似三角形的性质来解，更简单直接。

设：AD=a，则DB=2a，AC=3a。

但是几乎没有学生能够找到“一线等角”，并运用相似三角形的性质来解题。下面我们来总结提炼一下这道题的解法。

（如图2）因为△ABC为等边三角形，折叠后点C与点D重合，所以有△CEF≌△DEF，从而得∠A=∠EDF=∠B，易证△EAD∽△DBF（“一线三等角”——相似，本题的关键）。

图2

在计算化简过程中，我们发现：

这里运用的是合比性质，实际就是运用相似三角形的性质：相似比=周长比。

到这里，我们就得到了本题的最快解法：CE∶CF=两三角形的相似比=两三角形的周长比=（AE+DE+AD）∶（DF+FB+BD）=（AC+AD）∶（BC+BD）=4 ∶5。

如果本题将AD∶DB=1 ∶2 改成任意比，那么如何求出CE与CF的比值呢？我们依据上述解法可推出：若AD∶DB=m∶n，则CE∶CF=（m+n+m）∶（m+n+n）=（2m+n）∶（m+2n）。这样就有了一般性结论。

反过来，如果我们知道了CE与CF的比值，能否求出AD与DB的比值呢？同样，我们可以得到：已知CE∶CF=x∶y，则x∶y=（m+n+m）∶（m+n+n）=（2m+n）∶（m+2n），所以x（m+2n）=y（2m+n），即m∶n=（y-2x）∶（x-2y）。这样，学生就通过一个题掌握了一类题。

优秀的题目往往有较多的解法或蕴含着数学思想方法，是训练学生思维的好素材。教师一定要把握机会，认真研究，如此一来，既可巩固学生所学知识，又能让学生充分运用知识，从不同角度分析思考，深刻理解各部分知识横向和纵向的内在联系，并灵活转化，培养思维的广阔性。当然，课堂效果也可得到明显提高。