理法融合，以法促律——谈有关计算教学的几类计算课

浙江省义乌市新丝路学校龙回校区 方健伟

计算是小学数学的基础内容，计算教学贯穿于小学数学教学的全过程。运算通常来自对生活原型的抽象，抽象产生意义，意义产生算理，算理概括成为算法，不断运用算法就有了算律。反过来，算律是对算法的熟能生巧，算法是对算理的经验概括，算理是对意义的理解，意义来自生活原型的支撑。算理是算法的理论依据，算法是算理所蕴含的行为的整理与提炼，算律则是在算法的支持下理解运算的合规性，是算法的灵活运用。在理解算理的前提下构建算法，在熟练算法的基础上明晰算律，三者既相辅相成，又各有千秋。

一、以“意”明“理”，让“算理型”计算课更厚实

小学数学中低段的计算教学内容一般比较简单，通常会以简单计算或口算作为引路课。从掌握技能的角度看，学生都掌握得比较好。正因为内容简单，有的老师在实践教学中往往不愿花时间展开“说理”过程。计算的理论依据是算理，它的内涵包括了运算的意义、运算的性质和运算律，为计算提供正确、可靠的思维依据。这一类课正是“讲理”的课，也就是感知算理，为后续学习笔算做好铺垫。

【课例1】整十、整百数乘一位数

1.创设情境，提出问题。

读懂信息，提出问题：杨树每捆20 棵，3 捆共有几棵？

2.学生先独立思考，尝试列式并计算，然后同桌交流。

把20×3 的结果算出来并不困难，学生借助已有的知识经验会用多种方法得出答案。但对于算理的理解，学生往往是模糊的，这时直观模型就能很好地帮助学生明确计算的意义，理解其中的算理。

3.师生交流，借助直观模型来明确计算的意义，理解乘法的算理。

师：完成的同学，请四人小组讨论一下，将你的想法跟大家分享。

生1：算式“20×3”表示3 个20 相加，所以我用20+20+20=60。

生2：我是先画一条线，再跳3 次，每次是20，最后跳到了60。

师：你为什么要跳3 次？

生2：因为20×3 表示3 个20，所以我跳了3 次。

生3：因为2×3=6，那20×3 就等于60。我先把20 的0 去掉，乘法口诀二三得六，再把0 加回去，就是60 了。

生4：我同意这种看法。20 就是2 捆十根的小棒，乘3 表示这样的有3 份。2 乘3 表示一共有6 份，每一份是10 根，6 份就是60 根。

师：也就是10 表示一个十，6 乘10 表示6 个十，是60。

试着让学生将自己的方法在投影上汇报交流。学生借助算式意义，运用口算方法，或是用直观数线方法理解乘法意义，明白计算方法。整十整百数乘一位数的口算乘法，如“20×3”“500×5”并不难，即使不上，学生也能很好很快地掌握口算乘法，教学中教师不能只求“快节奏”，而应采用“慢拍子”，选择多样化的教学的方式，用好直观模型（数线、点子图、列表）、实物原型（小棒、计数器）等促进学生理解算理。让学生充分调取经验，建立起足够多的原型，感知运算的道理。

二、循“理”入“法”，让“算法型”计算课更丰厚

计算方法是依据有关的运算意义和性质将计算过程中的推理系统化和程序化，是一种比较先进的逻辑推理。课堂教学中学生不清楚算理，知识迁移范围就会受限，如果不及时总结方法，归纳算法，也不利于运算能力的真正提高。因此，计算教学中，要力求循“理”入“法”，真正做到“理”“法”融合。

【课例2】乘数是两位数的乘法（笔算乘法）

计算“12×14”，出示学习要求：在点子图上圈一圈、算一算，在表格里填一填，尝试写出你的计算过程。学生借助点子图尝试计算。

生1：先圈10 个12，再圈4 个12,120+48=168。

生2：还可以先圈10 个14，再圈2 个14，140+28=168。

生3：12×14 可以理解成10 个14 加上2 个14，其实与上面的方法一样。

生4：我是分成四份，把12 分成了10+2，把14 分成了10+4。最大的那块是10×10=100，还有10×4=40；下面的两块分别是10×2=20和2×4=8。最后把这四块相加：100+20+40+8=168。（图1）

生5：我是运用表格的方法来计算的。结合点子图来说明，这和前面分成四部分的意思其实是一样的。看点子图，100 就是10×10=100，40 就 是10×4，20 表 示 的 是10×2， 最 后 是2×4=8。下面算式表示的是把这四部分相加。（图2）

图1

图2

在点子图上圈和在表格上填空需要给学生足够时间，那为什么还要引入这些直观模型？价值就在于把静态的知识激活了，让学生研究计算方法有抓手。运用直观模型理解算理和乘法的意义，在探究算法时引导学生动手操作，在圈画、拆分点子图时清晰地呈现学生不同的算法。

师：请结合点子图，指着表格中的算式，同桌之间互相说一说。

师：有一位同学是用列竖式的方法解答的，说一说每一步的意思，再想想乘数是两位数的乘法列竖式计算的方法是怎样的？

从上述教学中，我们发现学生不自觉地把竖式与前面的点子图、表格联系起来，利用点子图和表格理解乘法竖式。这样，学生在理解竖式中每一步的含义时，能将直观的算理和抽象的算法有效结合，也就能水到渠成地归纳笔算方法了。

三、依“法”见“律”，让“算律型”计算课更厚重

计算本身发展的必然需要体现在运算律上，它是在计算过程中根据需要所产生的简约规则。无论是整数的运算，还是后续小数、分数的运算，这几个运算律都是适用的。运算律的教学要在理解运算意义的基础上基于算法去建立认知，从运算律的本质出发，建立算法之间的相互联系，拓宽运算律的形成渠道，这样教学，学生对于运算律的理解是深刻，教学才能取得事半功倍的效果。

【课例3】乘法分配律

1.引入情境，列出算式。

（1）出示具体生活情境：贴瓷砖，学生尝试用不同的方法解决问题。

（2）反馈学生解决问题的情况。

① 3×10+5×10； ②（3+5）×10；

③ 4×8+6×8； ④（4+6）×8。

师：说一说每个算式的含义，比一比4 个算式，你有什么发现？

生1：答案都是80。

生2：3×10+5×10=（3+5）×10，4×8+6×8=（4+6）×8。

师：为什么①和②、③和④可以写成等式？

生3：等号两边都是求同一个问题，只不过计算时的运算顺序不同，计算的结果都相同，所以可以用等号连接写成等式。

在学习乘法分配律之前，学生已经熟练掌握了运算的顺序和运算的方法。上述过程是借助“贴瓷砖”情境，让学生体会到乘法分配律两种算式形态的正确性，充分运用乘法意义建立的两类算式虽然形态不一样，但结果指向是相同的。借助问题情境指导下的学习活动，让学生感知乘法分配律的本质。

2.发现规律，验证规律。

（1）举例验证。

师：类似这样的式子你能写出一组吗？它们为什么相等？

生：36×5+34×5 =（36+34）×5，左边是36 个5 加上34 个5，得出70 个5，右边也是70 个5，所以左右两边相等。

师：还能举吗？再写一组。

（2）小结：类似“36×5+34×5 =（36+34）×5”这样的等式不是个别现象，是一种普遍存在现象，是一种规律。

3.建立模型，梳理规律属性。

师：请大家想一想、写一写，用自己的话表达这种规律。（反馈学生的表述情况）板书：○×△+○×☆=○×（△+☆），a×b+a×y=a×（b+y）。

师（小结）：一般情况下，我们可以用字母式“（a+b）×c=a×c+b×c”来表示这样的规律，这就是乘法分配律。

引导学生加强对乘法分配律外在形式的认识，利用静态的表达式归纳总结出乘法分配律，初步建立乘法分配律的模型。

4.追根溯源，凸显规律本质。

师：乘法分配律其实我们并不陌生，从二年级开始，你们就已经接触了，只是那时我们不知道它就是乘法分配律。你们看，能用自己的方法解释“7×8”和“长方形周长”吗？

教学中，重视运算律意义的理解，把前后知识有序勾连。沟通知识之间的内在联系，习得的知识也将实现更高层次的巩固。提倡让学生经历知识的发生过程，明白“为什么学”“怎么学”。上述课例的教学有运算意义作支撑，沟通算法之间的联系，能更好地触发对运算律意义的感知。通过这样的学习，不仅能让学生对所学的知识有深刻的理解，更能激发他们学习数学的积极性，体会到所学知识的意义和价值。