指导建模，提升解决数学问题能力

江苏省淮州中学 李锦国

建模能力是学生综合能力的重要组成，建模能力的培养不仅可以帮助学生内化对新知的系统认知，更能促进学生深度领会和理解知识，形成对数学的深层次认识。为此，我们在平时的数学教学中，要不断渗透数学建模思想的教育，引导学生真正融入数学的内在。在高中数学教学中，常见的数学模型有：方程模型、函数模型和几何模型等等，建立这三种模型的基础是对题干条件进行分析，探究其中的等量关系、变量关系和位置关系。下面就结合具体的例题对如何探究这三种关系，切实地提高学生的建模能力展开论述。

一、分析等量关系，建立方程模型

等量及不等关系是生活中最常见到的数学关系，在生活实际中有着广泛的应用场景，如何指导学生提炼出题干中的等量关系，正确地列出方程是教师的重要任务。在根据数学等量关系建立方程模型时，最首要的任务就是先找到题干中给出了几种变量，然后依次分析每一种变量所对应的等量及不等关系，之后列出多元方程组进行求解。

比如，在讲解“不等关系与不等式”这一小节的内容时，就指导学生分析题干中的不等关系，列出方程组模型，解决问题。有习题如下：某地需要租车接待旅行团290 名旅客，共有100 件行李，计划租用甲、乙两种车共8 辆，甲型车可以载客40 人和10 件行李，乙型车最多载客30 人和行李20 件，求出共有几种租车方案。在这一题中的不等关系需要根据生活常识提炼得出，最后租用的车必须能够满足载290 旅客和100 件行李的需求。所以可以设租用甲车x辆，则乙车为(8-x)辆，可以列出方程，从而得出最终结果。

由此可见，指导学生分析题干条件，探究等量关系的能力是提高同学们数学方程建模本领的重要手段。“授人以鱼不如授人以渔”，教师在讲解时更重要的是教给同学们建模的方法，而不是简单地将结果展示给学生，因此在课堂中，教师应当适当地结合例题引导学生探究题干中的等量关系，建立方程模型进行求解。

二、梳理变量关系，建立函数模型

当多元方程组难以解决问题时就可以尝试建立二次函数模型，梳理题干中的变量关系，设出关键未知数，然后根据变量关系列出正确的二次函数解析式，根据相应函数的特性，探究某一变量跟随未知数的变化关系，求解其极值或者变化趋势等一些常见问题。

可见，函数方程可以深入地利用函数的原理以及性质求解生活中常见的最优化问题，教给学生如何树立变量关系，搭建函数模型，不仅可以帮助学生更深入地理解常见数学函数的表达和原理，最重要的是给同学们提供一种利用数学知识解决问题的思路，为学生未来的科研探究或者生活问题求解打下了基础，更提升了学生的数学能力。

三、讨论位置关系，建立几何模型

几何知识是数学学科的一个重要板块，利用几何原理求解实际应用问题也是数学学科的一个重要应用。建立几何模型的基础是明确空间中的位置关系，结合所学的几何知识原理对问题进行求解。因此，教师在指导学生搭建几何模型时，应该着重讲解常用的位置关系以及如何利用这些关系联想到所学的知识，从而完成模型的搭建。

比如，在讲解了双曲线的方程表示和基本性质之后，就指导学生根据双曲线的定义和性质解决实际问题：在相距为10v的A、B两地侦测到同一爆炸声响的时间差为6 秒，并且B点的声强是A点的4倍(声强与距离的平方成反比)，计算爆炸点到A、B中点的距离。这一位置关系就需要转化为双曲线的几何模型求解。以A、B的中点为坐标原点，AB连线作为横轴，则可以得出爆炸点P满足式子：||PA|-|PB||=6v，|PA|=2|PB|，并且|AB|=10v，这样就将问题转化为已知一个双曲线上的某一点距离曲线和两个焦点的距离满足|PA|=2|PB|，因此可以确定该点的坐标为(v,v)。

由此可见，几何模型的搭建可以快速地解决一些利用其他模型难以解决的问题，可以利用几何模型为空间位置问题和其他的数学模型搭建一个知识桥梁，将位置关系转化为方程组、函数模型或者解析几何的知识展开求解。通过几何模型解决实际问题不仅能够优化解题思路，更可以助力学生几何空间思维的发展，提升其数学核心素养。

综上所述，数学模型思维是解决实际问题的重要纽带，可以实现理论知识到实际问题求解的快速转换，有效地提高学生的数学应用能力，从而提升学生的数学解题本领。因此，教师应该加强指导学生的建模能力，帮助学生学会如何分析题干中的数学等量关系、变量之间的函数关系以及几何空间中的位置关系，提升学生的建模能力，发展其核心素养。