概念课：润“物”有“声”

江苏省南京市板桥中学 陈方圆

一、引言

数学问题归根结底是概念问题，“概念是数学思维的核心和逻辑起点”，从概念出发，用基本的数学知识解决基本的数学问题，是数学教学本质。概念教学是数学教学的核心之一，然而受应试教育的影响，在实际的概念教学中，弱化概念，强化习题讲解时有发生，这极大地影响了学生对概念本质的理解和思想渗透，以致有些学生觉得“只要会做题，概念是否理解不重要”这样错误的认知。

2018 年12 月25 日有幸开设了一节市级公开课，这节课使我从“知”“行”“果”三个层面明白：理解概念，重视概念的地位和作用；建构概念，精心设计精致的教学环节，促进学生良好思维习惯的养成；延伸概念，实现概念教学的育人价值。下面笔者将结合《平面向量坐标运算》这一节课的教学片段，阐述与分析教学环节的设计意图及教后反思。

二、案例

1.复习引入

设问：请大家回忆一下，我们学习了向量的哪些内容？

生答：向量的定义→向量的表示→向量的运算→向量的关系→平面向量基本定理。

【设计意图】让学生明确之前是从“形”的层面，借助于有向线段，按照“定义→运算→关系”这样的顺序对平面向量进行研究的，很自然地，学生就会去想能不能从“数”的层面来研究向量呢？本节课所学内容就顺理成章地展开了。

2.学生活动

（1）画一画

设问：画的过程中，有什么感受？

生1：正交基底画起来更方便。

设问：如果一个向量要用一组基底表示，你们会选择什么样的基底？

生2：正交基底。

设问：基底的模长为多少较好？

生3：模长为1。

【设计意图】通过对比，让学生直观地感受正交基底的优势，让学生通过感知习得知识。

（2）做一做

设问：它们有什么相同点和不同点？

生（大部分）：可以。

【设计意图】选择从特殊入手，让学生观察异同，发现特点，总结结论，进而归纳出一般结论。选择“特殊→一般”的思维模式，符合学生的认知特点。

3.概念建构

（1）平面向量的坐标表示

设问：平面内的点也是用坐标表示的，那么点的坐标和向量的坐标有关系吗？观察图（1）。

图（1）

图（2）

图（3）

设问：图（1）生7 答得正确，那图（2）呢？怎样说才准确？

设问：那向量的起点不在原点时怎么办？

生8：将向量的起点平移到原点。

例1：如图（3），已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，，求的坐标。

【设计意图】通过图形的直观认识，让学生自己发现向量的坐标和点的坐标之间的关系，这一关系与向量坐标的定义是等价的，紧接着安排一个例题，训练学生“一般→特殊”的解题思维。

（2）平面向量的坐标运算

设问：研究完向量的坐标表示，下面我们要研究什么了？

生答（齐声）：运算（加、减、数乘）。

追问：拿到问题时，通常我们怎么做？

生9：先分析一下条件。

追问：条件是什么？

追问：向量的坐标是怎么定义的呢？（学生恍然大悟）

【设计意图】对于运算规则的教学，往往会走入注重运用而忽略由来的误区，通过谈话方式设置追问，引导学生思考，从而找到解决问题的本原,进而让学生养成遇到问题回归概念的习惯。

后面关于已知两点的向量的坐标表示和平面向量关系中两向量相等的坐标表示的教学设计和设计意图与坐标运算一致，就不再一一赘述。

4.课堂小结

设问：接下来我们将学什么？本节课你的收获是什么？

生10：平面向量平行和垂直的坐标表示。

生11：向量的坐标表示、坐标运算、向量相等的坐标表示。

设问：知识层面的没有了，一节数学课中除了知识，还有什么值得我们收获？（引导学生说出思想方法）

生（部分）：特殊到一般、一般到特殊、数形结合。（这些是本节课用得最多的思想，还是不肯放弃，想让学生说出来）

设问：还有遇到问题无从下手时，怎么办?

生12：回归概念，从概念入手。

【设计意图】类比前面从形的层面研究向量，研究流程：定义→运算→关系，明确本节课就是从数的层面对前面的知识进行改造。小结不仅有知识层面的回顾，更有思想、方法的归纳，为学生的思维发展积淀和学生的可持续学习提供保障。

三、反思

1.润“知”——理解概念“透”

数学概念是数学应用的“根”和“本”，根深才能长成参天大树，本固才能立于不败之地。数学概念是学习其他数学知识的基础，新的概念形成后，在概念的引领下可以推出运算、性质、关系等许多相关的数学知识，使得知识体系更完整、更全面，学生习得知识也顺理成章。概念是事物根本属性的反映，是学习的基础，抓住了概念就是抓住了本质，只有重视概念教学，才能把握数学教学的灵魂。

2.润“行”——建构概念“精”

（1）“主线”精致

新课程理念中强调，突出数学主线，凸显数学的内在逻辑。一节课要突出主线，有了主线，就有了“主心骨”，整体脉络也清晰，没有主线，知识就如一盘散沙。从教学环节层面有主线，从知识层面概念课也要有“主线”。以本节课为例，平面向量坐标表示从定义，到向量的运算（加、减法、数乘），再到向量的关系（相等、平行、垂直），向量章节向量的几何表示也是如此。概念课教学有了主线贯穿，课就更加精致了。

（2）“活动”精彩

概念的学习不是灌输数学概念的内容，而是带领学生去建构数学概念，在此过程中必须创设合理的、精致的活动。学生通过观察、计算、作图、证明等基本活动，更直观地感受，更真实地体验，从而突破重点难点，扫除思维的障碍，从感性认识向理性认识飞跃，从而更深刻地理解概念。以本节课为例，本节课中为什么选择正交基底呢？通过画一画，让学生对比感知，学生很自然地选择方便的正交基底。再比如，向量是在物理的背景下抽象而来，“形”的直观感受强烈，突然用数也能表示具有方向的向量，这在学生的思维上是有跨度和难度的，因此从学生的认知特点出发，选取了几个用 表示的特殊的向量，让学生发现向量和实数对是一一对应，向量可以用有序实数对来表示，然后再上升到一般情况。从特殊到一般的推理方式可以很好地突破学生的思维障碍，帮助学生理解。概念课教学有了“活动”的引领，课堂形式多样化,课堂自然精彩。

（3）“问题”精准

问题是学生思维的源泉，更是思维的动力。教学中，教师要将概念的理解转化为精准的驱动性问题，学生在解决问题的过程中深度思考，提升能力。以本节课为例，已知，求学生有点懵，这时老师设置了一系列的追问，引导学生回归概念本身，从而很快解决问题。概念课教学不仅仅让学生获得知识本身，更重要的是通过问题驱动，引导学生养成从基本概念出发思考问题，解决问题的习惯，提高解决问题的能力。

3.润“果”——延伸概念“自然”

学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。真正的概念学习过程也是学生的数学素养不断形成、发展的过程。在教学中要结合教学内容的特点自然而然地渗透核心素养，让学生在潜移默化中习得。本节课中，数学抽象、逻辑推理、数学运算贯穿其中，可见概念课教学是数学核心素养的沃土，教师要让核心素养在概念课教学的沃土上自然地生根、开花、结果。

学习数学，除了获取必要的数学知识和掌握必要的数学技能之外，更重要的是获得基本数学素养。概念课蕴含丰富，数学教师要与时俱进，更新观念，用自己精准的理解设计精致的教学，让学生在精彩的课堂中收获精美的“数学”。