初中数学解题中分类讨论思想的应用

江苏省徐州市沛县杨屯中学 徐正友

分类讨论思想是一种十分关键的教学思想，更是一种核心的解题策略，其不仅体现了集零为整、化整为零的思想及整理分类的方法，并且体现了数学对象间的规律，可推动学生正确、快速地找出解题线索，有助于学生解题能力的增强及思维能力的发展。由此可见，深入研究在初中数学解题中如何应用分类讨论思想的策略，具有重大的积极意义。

一、分类讨论思想在解答应用题题目中的应用策略

例题：某家具厂的主要产品是桌子与椅子，其中桌子的定价是每张200 元，椅子的定价是每把40 元。为了提升销售额，厂家设计了两套促销方案：①购一张桌子赠一把椅子；②桌子及椅子都根据90%定价付款。但不能同时参与两种促销方案。假如一个家具店想采购桌子20 张、椅子若干把，请帮其设计一个最划算的采购方案。

分析：因为题目中未给出家具店具体的采购椅子数，所以在设计方案的时候需要分类讨论。

解题：假设家具店需要采购x把椅子，那么可设计的方案如下，方案一：20×200+20×（x-20）=40x+3200；方案二：90%×（20×200+40x）=36x+3600。假如y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400，那么当0 ＜y的情况下，0 ＜4x-400，求得100 ＜x。从这里可以看出，设计的两种采购方案中，方案二更合适。假如y=0，4x-400=0，x=100，那么两种方案都可采用。假如0 ＞y，0＞4x-400，可求得100 ＞x＞20，此时方案一更划算。由上面分类解题思路可知，假如家具店要采购的椅子数量超过20 把，但少于100 把的时候，方案一更划算；如果采购椅子的数量为100 把的时候，两种方案均可以；如果采购椅子的数量超过100 把的时候，方案二更划算一些。

二、分类讨论思想在解答圆类题目中的应用策略

例题：已知两圆的半径分别是4 和6，求解两圆相切时圆心距为多少。

分析：从题目中得知两圆的位置关系为相切，如果两圆外切，圆心距为10；如果两圆是内切关系，那么圆心距即为2。因此，两圆的圆心距是10 或2。

解题：圆的位置关系是初中数学教材中的重点内容，也是常见的解题类型。由于题目中没有明确说明半径是4 和6 的两圆具体为内切关系还是外切关系，因此学生在解题中就应运用分类讨论的方式分析各种条件下的解题结果，只有这样，才能提高解题的全面性与准确性。这就需要教师在解题中指导学生假设两圆为内切，计算出圆心距为6-4=2，假如两圆是外切，圆心距为6+4=10，从而借助分类讨论思想显著提高学生的解题速度与解题正确率。

三、分类讨论思想在解答函数类题目中的应用策略

例题：与x有关的函数y=ax2+x+1（其中，a是常数），假如函数图像和x轴存在一个交点，计算常数a为多少？

分析：如果该函数是一次函数，a=0，可计算出其和x轴的交点是（-1，0）；如果此函数是二次函数，a不为0，可计算出a应为0.25，且和x轴的交点为（-2，0）。

解题：在解答上述类型题目的时候，初中数学教师应引导学生把握该题目的考点是结合二次函数与一次函数的变化来确定存在的题型，需要应用分类讨论思想解题。因为函数中存在变量a，也就是说a可能为任意数，所以学生在解题时应分类讨论a的取值。换句话说，教师应引导初中生就a=0 与a≠0 的情况进行分类讨论。在此基础上，教师应指导学生就a的取值进行分析，接着进一步引导学生变换函数。具体来讲，如果a=0，y=ax2+x+1 即为一次函数；如果a≠0，y=ax2+x+1 就是二次函数。由此可见，把分类讨论思想应用到函数题目的解答中，不仅可大幅简化解题内容，而且还可推动学生快速掌握二次函数与一次函数的不同点，从而在脑海中形成一个清晰的解题模式，最终快速而正确地解答出题目。

四、分类讨论思想在解答不等式题目中的应用策略

例题：求解h2-1 ＜（h-1）x。

分析：如果初中生在解题中不对h的取值加以分类讨论，那么计算出的结果就是h+1 ＜x，为错误结果。究其原因，是因为h-1 不仅可等于0，而且可大于0。不同的分类条件下，计算出的结果也有较大的差异性。

解析：如果0 ＜h-1，也就是1 ＜h的时候，那么h+1 ＜x。假如0=h-1，可计算出h=0，此时不等式无解。假如0 ＞h-1，也就是1 ＞h，可以计算出h+1 ＞x。从上面的论述可以看出，如果1 ＜h，h+1 ＞1；如果h=1，不等式无解；如果1 ＞h，h+1 ＞x。由此可见，初中生在解不等式题目的时候，需要把分类讨论思想普遍应用其中的原因如下：①不等式具有很强的不确定性，导致学生无法一步解题。②不等式中存在很多变量。所以，在解不等式题目的时候，初中数学教师应指导学生充分利用分类讨论的解题思路，以便使得学生顺利找出各种条件下题目对应的结果，还可推动学生更快、更准地解题，从而大幅降低解题难度及解题错误率，最终显著提高初中生的不等式题目解题能力。

总之，把分类讨论思想恰当应用到初中数学解题中，是提高学生思维能力的有效形式，也是提升学生解题水平的关键措施。因此，教师在日常教学中应结合具体教学内容恰当地把分类讨论思想引入应用题、方程、函数、圆等题目的解答中，以帮助学生更加全面与正确地解题，从而推动学生解题能力及思维能力的快速发展，最终显著优化初中数学解题教学效果。