高中函数解题思路多元化能力培养的基本途径

江苏省江阴市第一中学 孙晓芳

高中函数解题思路多元化是多数教师在实际教学中十分重视的一个方面。通常来说，一题多解是培养学生解题思路多元化能力的良好途径之一，具体来说，又可细分为通过一题多解培养发散思维、通过一题多解培养创新思维，以下拟结合典型例题对此进行具体探讨，期冀对相关教学工作者有所启示。

一、一题多解培养发散思维

发散思维是一种从不同角度分析问题的思维方式，具体到实际解题中，即找到不同的切入点，采取不同的思路解题。发散思维可以说是解题思路多元化的基础，而培养学生发散思维的基本途径之一即为一题多解。学生在一题多解的过程中，自然而然地会从多个角度、不同的出发点思考问题如何解决，可以说每一次一题多解训练都是一次锻炼发散思维的良好机会，在具体教学中，教师都要注重选取一些较有代表性的函数例题，将之作为培养学生发散思维的载体。在长期的一题多解训练中，学生的发散思维水平亦必将在潜移默化中获得显著提升。我们来看一道具体例题：求函数f（x）=x+（x＞0）的值域。

该题比较简单，但具有多种解题思路，属于较为典型的一题多解函数题目。其解法共有判别式法、单调性法、配方法、基本不等式法四种，分别如下：

（1）判别式法：设y=x+，则有x2-yx+1=0，由Δ=y2-4 ≥0可得出y≥2，当y=2 时，由x2-2x+1=0，得出x=1。故当x=1 时，f（x）=x+（x＞0）有最小值2，即f（x）的值域是[2，+∞）。

（2）单调性法：首先判断函数f（x）=x+（x＞0）的单调性。 取0＜x1＜x2， 则 有。 当0＜x1＜x2≤2 时，有f（x1）＞f（x2），故在区间（0，1]上，f（x）是减函数；当2＜x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在区间（2，+∞）上是增函数。这时即可由f（x）的单调性知道当x=1 时，f（x）有最小值2，即f（x）的值域是[2，+∞）。

综合评判上述各解法，判别式法主要用于二次函数，具有一定的局限性；单调性法注意分类讨论；配方法和基本不等式法是相对简便的方法，但技巧性较高，相对不易想到。在讲解和剖析题目的过程中，教师要能够引导学生明了各种思路的分析切入点以及主要特点，帮助学生在深度思考中切实掌握各种思路，同时锻炼发散性思维。

二、一题多解培养创新思维

创新思维是数学思维品质的一个重要方面，与发散思维有着密不可分的关系，大体上二者可视为相辅相成的关系。高中函数题类型多变，创新空间很大，因而学生也需要具备相应的创新思维水平，在一题多解的过程中，教师要注重引导学生采取创新的思路来解答，并在多种思路的讲解和比较中突出创新性的思路，长此以往，如同发散性思维的培养一样，学生的创新思维水平亦必将在潜移默化中获得显著提升。现在来看一道具体例题：已知函数f（x）=|2x-1|，其值域为（2，6），求其定义域。

该题乍看很简单，但实际上带有一定的难度，有些学生竟感到无从着手，因为解题时需要先将已知条件转化成不等式问题，即从2＜|2x-1|＜6，许多学生想不到。转化成不等式问题后，问题就较为简单了，可以将2＜|2x-1|＜6 拆分为2x-1|＜6 和|2x-1|＞2 两个不等式，分别求解，进而将两式的解集综合，最终得出x的取值范围。

但上述思路仅属于一般性的思路，我们还可以采取一种创新性的思路来求解该题。分析题设可以发现，该题的难点主要是绝对值的存在，如果能够首先去掉绝对值，从而简化不等式，问题也就迎刃而解了。根据绝对值的定义，2＜|2x-1|＜6 去掉绝对值后变成两个式子，即2＜2x-1＜6 和-2＜2x-1＜-6，这时再采用常规性的解题思路就很容易解答该题了。在讲解和剖析该题的过程中，教师注重强调这种具有一定创新性的思路，启迪学生思维，促进其创新性思维的发展。

本文结合具体题例简要探讨了高中函数解题思路多元化培养的两条基本途径，即一题多解培养发散思维、一题多解培养创新思维。事实上，高中函数解题思路多元化能力的培养无疑是一个兼具深度和广度的话题，需要一线教师在教学实践中不断积极探索和深入总结，从这个意义上讲，本文仅为抛砖引玉，尚盼有识者指教。