例说均值不等式的应用

辽宁省盘锦市辽东湾实验高级中学 赵盼盼

一、主要的均值不等式

根据均值不等式，当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值；当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值。在应用均值不等式时，要注意不等式成立的条件：“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。

二、方法

1﹒配凑

∴当x=1 时，f（x）的最大值是1。

总结：在利用均值不等式时，一定要注意不等式成立的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。在求最值时，常通过添加常数或拆项等方式进行构造，使其和或其乘积为定值。

2﹒分离系数

分析：本题中给出的函数是分式形式，不能直接利用均值不等式，观察结构后试着把其配方成含“x-1”的形式，再分离成几项和的形式，再利用均值不等式。

总结：这道题中，根据分母的代数式，将分子变成含有分母的代数式，从而分离出常数，再利用均值不等式。

3﹒换元

在上一个例题中，可对分母进行换元，把分子写为分母的函数形式，进而拆成几项和的形式，再应用均值不等式。

总结：求分式函数式的最值时，一般将分子配凑成含有分母的代数式，或将分母换元后，将分式化为几项和的形式，再利用均值不等式求最值。

4﹒“1”的代换

∴当a=2，b=4 时，2a+b的最小值是8。

总结：在利用均值不等式时，常巧妙运用“1”整体代换，达到简化计算的目的。

5﹒单调性

总结：利用均值不等式求最值时，若等号成立时方程无解，则不能利用均值定理求最值，可以考虑利用对勾函数的单调性求解。

应用均值不等式时，一定要注意不等式成立的条件“一正、二定、三相等”。在解题时，掌握有效的变形技巧，可以创造性地应用均值不等式，培养学生的数学能力。