“守破离”，寓匠道之魂于数学课堂中——2018 年南京市中考数学压轴题教学导向分析

江苏省苏州市吴中区碧波中学 王丛丛

一、试题呈现

（南京卷第27 题）结果如此巧合！

以下是小颖对一道题目的解答。

题目：如图，Rt △ABC的内切圆与斜边AB相切于点D。AD=3，BD=4。求△ABC的面积。

解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x。

根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x。

根据勾股定理得，（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2。

整理，得x2+7x=12。

小颖发现，12 恰好就是AD·BD，即△ABC的面积等于AD与BD的积，这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索：

已知△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n。可以一般化吗？

（1）若∠C=90°，求证△ABC的面积等于mn。

倒过来思考呢？

（2）若AC·BC=2mm，求证∠C=90°。

改变一下条件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积。

二、试题特色解读

1﹒立足教材之本，体现人文关怀

本题原型来自苏科版教材九年级上册第五章第5 节“直线与圆的位置关系”的课后习题5.5 第13 题，原题如下：

在△ABC中，∠C=90°，它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=6，AD=4，求⊙O的半径r。

教材习题是要解决内切圆的半径长度，而中考题则在此基础上作了延伸，研究△ABC的面积，但其解决问题的本质未变，都需要利用勾股定理列方程解决问题。本题既确立了教材的中心地位，又对教材习题做了延伸和拓展，为教师的教学指明了方向。

学生在中考如此紧张的氛围中看到经典而又熟悉的图形，题目语言简洁清爽，让学生悬着的心不免放下，感觉最后一道压轴题也可攻破，显示出命题者对学生的人文关怀。让学生心中产生压轴题压的并非是“难、偏、怪”，而压的是课本的经典和基础之感，从而跳出“题海战术”，回归教材之本。

2﹒题目层次分明，凸显匠道之魂

“守、破、离”源于日本剑道学习方法，后发展到匠人行业中，用来描述匠人精神。而本题的层次与“守、破、离”的精神一致，凸显匠道之魂。

（1）守——以模仿为基础，全力吸收所传授的知识

“守”即是模仿，成功的第一步骤就是“复制”。所以题目首先给出了小颖对一道题目的解答过程，这部分其实是为第（1）小题提供思路，起了铺垫作用。学生在阅读完解题过程后，理清题意，即可模仿小颖的解答过程，将具体数值3 和4 替换为m和n，即可做出正确答案。

（2）破——边摸索边探索，将坚实的基础转化为自身本领

“破”即是转化，在模仿的过程中转化为自己的内在。第（2）小题其实相当于证明第（1）小题的逆命题，题目难度略有提升，但是起伏不大。该题其实是考查学生是否真正理解题（1），从而对题（1）进行反过来的应用，既能考验学生在题（1）“守”的部分是否深入理解，又能考查学生是否将题目消化吸收转化为自身部分而产生想法。

（3）离——开创新境界，加入自己的想法

“离”意味着“分离”，意味着学生要走自己想走的路，这一阶段是最难的。“离”代表着过往学习的所有技巧和知识已经成为学生的一部分，学生能流畅熟练地运用它们。第（3）小题打开新的境界，难度进一步提升，改变∠ACB的度数，让学生用m、n表示的面积。看似题目发生了本质性的改变，让学生无从下手，但学生在经历了模仿和探索后，通过深入的分析思考，便会产生与解决第（1）小题的类似思路。要表示△ABC的面积，便要表示出△ABC的底和高，而此三角形没有高，所以需要构造高并想办法表示高。一旦把高作出来，又产生了90°的角，便可利用勾股定理找到x、m、n之间的关系式，再用面积表达式和整体代换思想将答案求出。

3﹒几何分析与代数运算并重，考查学生基本素养

《数学课程标准》中指出，在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。本题在考查符号意识、几何直观、运算能力和模型思想上都大有体现。纵观本题3 道小题，无一小题出现具体数字的运算，全部是用字母代表数来进行运算和推理，让学生明白符号的使用，尤其是用字母表示数是数学表达和进行数学思考的重要形式。而贯穿其中的整式运算的量也不小，稍有不慎，便无法得出正确结论，需要学生有较强的运算基础。第（3）小题中的辅助线作法，就可以凭借几何直观由面积而自然想到，再借助第（1）小题的模型利用勾股定理建立方程。不难看出，南京市的这道中考题考查了《数学课程标准》提出的学生十大核心素养，为教师在课堂的教学指明方向。

4﹒追本溯源，隐藏创新解法

学生如果打破本题的惯常风格，不用题目提供的思路，而是回顾教师在讲解这一图形时讲过的等面积法，也可以利用等面积法解决本道题。方法如下：

连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，并过点A作AG⊥BC交BC于点G，设内切圆的半径OD=OE=OF=r。

∵∠ACB=60°，∴∠OCF=30°，

∵AG⊥BC，∴∠AGC=90°，

三、教学导向

1﹒教学之“守”——不忘初心，回归课本

教材是课程标准的代言人，是教师执教之本，一线教师不能忽视对课本例题和习题的教学。现在网上资源和市面上的习题教辅很多，许多教师将新课知识讲完，随手在网上或教辅上印一张试卷给学生做，试卷上的题目是否符合学生的实际情况也无从谈起，导致对课本的“经典”轻轻滑过，让学生在“题海”中找不到方向。许多中考题都能从教材上找到影子，所以教师应该认真研究教材，巧妙利用教材的例题和习题，不忘“培育学生数学学科素养”之初心，固学生“基础知识”之本，培学生“基本技能”之元，让教学回归到朴实和真实。只有学生打好坚实的基础，才能以不变应万变，在中考中自在地发挥自我。

2﹒教学之“破”——循序渐进，寻求变式

数学学习的“灵感”如同语言学科的“语感”一样，也是在打好基础，循序渐进的过程中积累出来的，并非一蹴而就。教师应设计好每一个环节，关注好学生的思维动向，在课本的例题和习题上进行变式教学。当学生掌握了基本知识与技能，就应该教导学生开始试着去理解出题者背后的理念，也可让学生尝试出题。在这一过程中，要让学生学会独立思考，丢弃依赖教师的习惯，并养成反思、质疑的习惯，要能举一反三，融会贯通。例如本题中第（3）小题，命题者选取了60°的角，教师在讲解时可以变换角度，如特殊角30°、45°，与学生共同探讨35°、45°角是否可行，命题者为何最终选取了60°角。

3﹒教学之“离”——且学且思，举一反三

初三试题的讲评不仅是为了学生顺利通过中考服务，更要激发他们的学习潜能。学生不能拘泥于原来所学，要“分离”，从而达到升华之境界。例如本题的第（3）小题，教师更可与学生探究∠C角度变为任意角α时，结论如何？笔者试做如下探究：

对教师来说，“守、破、离”就是让学生从“无我”进入“自我”阶段，再升华到“超我”阶段，这是数学学习的必经之路。通过南京市的这道中考题，我们应学习其匠人之道，将“匠道之魂”孕育于每节数学课堂中，培养学生良好思维习惯，提高学生数学核心素养。