归类解题是培养学生核心素养的门径——例谈一元二次方程解答初中数学应用题

江苏省启东市长江中学 沙春杰

不管是二次函数应用题、统计应用题和几何类应用题，还是方程应用题、一次函数应用题和不等式应用题，在南通市最近几年中考试题中，涉及行程、增长率、商品打折、储蓄和环境污染等背景的应用题占据一定比例。作为一名初中数学教师在引导学生进行一元二次方程的应用时，只有让他们学会在归类的基础上逐步构建知识模型，才能培养学生的数学核心素养。

一、传染问题

【例题1】某幼儿园有一个孩子患了流感经过两轮传染后共有121人患了流感，问每轮传染中平均一个孩子传染了几个人？

【解题分析】流感性传染病学生不会陌生，教师在引导学生解答此类应用题时可以如此思考：若一个孩子患了流感，每轮可以传染给x人，则一轮结束后应该有（x+1）人患上流感；当第二轮结束后，又有x（x+1）人被感染，因此，共有[x+1+x（x+1）]人传染流感，即（x+1）2人得病；第三轮有（x+1）3人得流感……所以，有了传染病问题的一般模式（x+1）n，n就是传染的轮数。本例提供的条件得知经过了两轮传染，因此，学生可以根据题意列方程（x+1）2=121。

【拓展延伸】树枝问题与传染问题有异曲同工之妙，两者均由一开始，经过变化逐渐变多，其区别在于树枝的主干不会二次生长，但传染病患者可以不断地传染给别人，因此，教师在引导学生解答此类问题时要特别引起注意。

【例题2】月季花的主干生长了若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干以及小分支的总数是91，试问每个枝干长出多少小分支？

【解题分析】若设每个枝干生长出x个小分支，则主干为1，枝干是x，小分支就是x2，小小分支是x3……因此，主干、枝干和小分支的总数是（1+x+x2），根据题意列方程得1+x+x2=91。可见，树枝问题与传染问题极为相似，学生通过以上两种题型的解答，能够达到触类旁通的效果。

【例题3】在人口密集的活动场所，信息传递的速度比较快，杏花居委会3人同时得到一条好消息，经过两轮传递后使共有864人的居民小区知晓率达50%，试问每轮信息传播中，平均每人传递了几人？

【解题分析】教师在引导学生了解传播问题与传染病问题的相似性原理后，可以利用传染问题的思路解决这一传播问题：原有三人知道好消息，第一轮结束，总共有（3+3x）人知道；第二轮结束后，共有[3+3x+（3+3x）x]人，即3(1+x)2人，因此，本题可以列出方程：3(1+x)2=864×50%。同时，还可以让学生引申为a(1+x)n的一般模型，其a是开始知晓的人数，n是传播的轮数。当a等于1时，就是例题1中的传染问题，即：当患流感的有a人时，就和本题的题型完全一致了。可见，传播问题和传染问题本质是一样的，当学生掌握这一本质后，问题就迎刃而解了。

二、增长率问题

【例题4】北海市人民政府为了解决广大民众看病难的问题，要求药监部门督促各医院较大幅度下调药品的价格。其中，进口类曲新霉素两次降价后，由每盒250元降至160元，则曲新霉素平均每次降价的百分率是多少？

【解题分析】一般而言，涉及两次增长率的问题可以用一元二次方程来解决，教师在引导学生解题时，可以让他们把第二次当作在第一次基础上的增长，先设平均每次降价的百分率为x，则可以列出方程250(1-x)2=160，在此基础上轻松解答问题。

【例题5】东风养殖基地去年种植了10亩地西瓜，亩产量为2000千克，现顺应市场供求趋势，今年这个基地不仅扩大了种植面积，而且全部种植了高产的84西瓜新品种，已知西瓜种植面积的增长利率是亩产量增长率的两倍，今年西瓜总产量为60000千克，试问西瓜亩产量的增长率是多少？

【解题分析】教师在引导学生解答此题时，可以按照增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），先设西瓜亩产量的增长率为x,则种植面积的增长率为2x,然后列出方程求解，根据题意列出算式：10（1+2x)×2000(1+x)=60000,解得：x1=0.5,x2=-2(不符合题意，舍去），最后得出西瓜亩产量的增长率为50%的结论。

三、利润问题

【例题6】凤凰超市销售一批羊毛衫，平均每一天能够卖出20件，每一件获取利润40元，为了减少库存、扩大销售、增加利润，商场总经理决定尝试适度降价方案，后经研究发现，每一件羊毛衫每降价3元，超市每天可多销售5件。假如超市每天获得925元利润，请你为超市筹划一下，每件羊毛衫应降价多少元？

【解题分析】原来每销售一件羊毛衫盈利40元，每天可以销售20件，则超市每一天获利20×40元。为了减少库存、扩大销售、增加利润，超市决定实行降价方案，后经研究、分析，知晓每一件羊毛衫每降价3元，超市每天可以多售出5件。假如每一件羊毛衫降x元，那么每件羊毛衫的利润是（40-x） 元，超市可以每天多销售件。而每天的盈利=销售量×每件利润，即：，解得：x1=3，x2=25。最后根据“为了减少库存、扩大销售、增加利润”这一已知描述，此题应该取较大的值x2=25，即每件羊毛衫应降价25元。

四、大小长方形问题

【例题7】如下图所示，有一块长100厘米、宽50厘米的长方形铁皮，先把四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若制作的无盖方盒的底面积为3600平方厘米，那么铁皮各角应切取多大的正方形？

【解题分析】此题最大的长方形的长100厘米，宽50厘米。如果设剪去的小正方形的边长为x厘米，则里面黄色小长方形的长为（100-2x)厘米，宽为（50-2x）厘米，“若制作的无盖方盒的底面积为3600平方厘米”，底面为黄色长方形部分，由此根据题意可列方程（100-2x)（50-2x）=3600，最后让学生解方程后根据实际情况决定本题结果。

教无定法，贵在有效，但愿大家八仙过海，各显神通，积极引导学生通过归类总结出相应的解题思路，才能不断提高数学核心素养。