以多元函数最值问题，提升学生数学抽象素养

浙江省绍兴市诸暨市学勉中学 楼旭慧

普通高中数学的六个核心素养，是指数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些核心素养应贯穿于整个高中数学学习，尤其是对刚进入高中的高一学生而言。

函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学工具，是贯穿高中数学课程的主线，用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法，在解决实际问题中发挥着重要作用。《普通高中数学课程标准》指出：“用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法，帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。” 近年来，高考对函数的考查不再是简单的知识叠加型，更侧重于数学核心素养的综合型试题。从历年的各地高考和数学竞赛来看，我们不难发现：对多元函数最值问题的考查趋势逐年有所增加。这显然是为了更好地考查学生的数学抽象和直观想象等数学素养。

其中，数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，获得结论贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。在数学抽象核心素养的形成过程中，学生能更好地理解数学概念、方法和体系，理解和把握事物的数学本质，从而逐渐养成一般性思考问题的习惯，提高数据处理的能力，增强基于数学表达问题的意识。

本文以多元函数的最值问题为例，来谈谈数学抽象核心素养在多元函数最值问题教学中的体现，即体会函数思想在解决方程、不等式问题中的重要作用，帮助学生从函数的角度进一步认识方程和不等式，理解函数、方程和不等式之间的关系，提升数学核心素养。

一、数形结合，必要先行

本题旨在考查学生对函数与不等式联系的理解，对恒成立问题的转化；能力范畴旨在考查学生的数学抽象、直观想象的能力。

本题条件简洁，学生需要对题中所给的条件、数据进行恰当的分析，寻找突破口，探究本质，抽象出一般规律和结构，用数学符号或数学术语予以表征。

由于学生目前的数学抽象能力不强，因而在教学时，我引导学生：“若该题需要你求值f（2），你认为需要知道哪些条件？”学生能快速反应需要知道系数a，b，c三个量或其关系”。此时，学生顿悟本题的关键在于弄清a，b，c三者间的关系以及某元的取值范围，将多元转化为少元，直至单元。

由题中的恒成立条件着手，学生容易将其转化为自己熟悉的最值问题，并通过数形结合、直观想象，因而可得到：对任意实数x，不等式组恒成立，进一步可化简得到不等关系：但到此处，学生又遇到阻碍，止步不前。归其原因，变量过多、不等关系复杂，超出了高一学生的知识范畴。解决此类问题，应结合高一学生的实际学情，通过直观感受，借助几何直观和想象来感知函数的形态和变化，利用图形分析问题，建立形与数的联系。直观想象核心素养的形成过程中，学生能进一步发展提高数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。因而教师应引导学生理解函数本质，数形结合，通过作图来观察函数f（x）图象所在位置。不难画出图像，如下图所示：

观察函数图像，直观想象，借助两函数的图像位置关系，建立形与数的联系，不难发现f（x）由于夹在两函数之间，即图像也夹在其之间，故必过它们的交点(1，1)，从而可得到关系式再代入刚才的两个不等式，得到且有进一步代入可知故有解答完毕。

通过本题的学习，学生能体会多元函数最值问题的数学抽象过程，学会分析题中所给的数据，掌握条件的等价转化，构建适当的数学模型，数形结合，进而解决问题。

结合学生学情，为巩固和检验学生对该类多元最值问题的掌握，本人在课后设置了如下问题：

练习1：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），满足f（-1）=0，对于任意的x∈R，都有并且当x∈(0，2)时有求函数f（x）的解析式。

该练习与例题在解题思路上有相似之处，有了上一题的解答经验，学生容易入手。结合例题，分析题中所给条件，类比方法，模仿解题，该练习能够进一步提高学生数学抽象的能力，再次体会直观想象、数形结合对研究函数问题的重要性。

二、代换消元，化繁为简

由上一问题的启发，本人对二次函数的多元最值问题进行深入探究。多元最值问题解决的另一常见方法，即是通过代换消元，化归为单变元问题，化繁为简，促进学生形成数学抽象、直观想象的数学核心素养。

题中条件同样简单明了，类比上一问题，分析题中所给数据“对任意的x∈R，有恒成立”，由该恒成立条件入手，学生容易利用二次函数图像，直观感知，数形结合，从而可以初步得到a，b，c三者间的不等关系和所求式子但与上一例题不同之处在于，本题中得到的并没有等式关系，而是不等关系，加上该式中仍有三个未知元，相较问题1有一定的难度，需要重新思考多变元问题的解决方法。但多变元问题的总体思想是一致的，即通过消元，达到少元直至单元解决问题。因此，本题中变元间只有不等关系，无等量关系，但不影响通过代换消元来处理a，b，c三者间的不等关系。在观察中学生不难发现，相较而言，变元c会结构单一，容易转换，于是有故可得原式此时，学生观察式子结果容易想到等价换元，构造新关系，建立新的数学模型，便有了如下解答：令再利用勾勾函数与基本不等式知识，得到当且仅当时，即b=4a时，原式取到最小值3，最终解决问题。

该练习的设置，是为学生巩固、提高对代换消元法来分析、处理二次函数多元最值问题。它与例题在数据的分析、处理上，所体现的数学思想和方法以及所要求的核心素养基本一致。故在此不再作具体展开。

三、主次变元，逐一解决

除以上常见的代换消元法来解决二次函数中多元最值问题以外，还有一类在多元问题中也时常遇到。如：

具体分析本题所给的数据，与前面两个问题比较，可以看到本题中有x，a，b三个变元，且相互之间似乎又找不到直接的联系。这样，就很难再用上述代换消元的方法解决问题。学生在解这类题时遇到的主要困难在于题目中不仅有多变元，且题中的存在、恒成立条件对每个变元都有要求，如若同时考虑三个变元，就会举步维艰。既然三个变元无法同时解决，就拆分逐一处理，故必须引导学生将三个变元进行拆开，分别当作问题的主元，其余先当作次元或常数来处理，再将存在、恒成立问题转化为最值问题，求出其对应的最值。可先将变元x看作问题的主元，即先考虑条件“存在实数使得不等式此时得到的成立”，学生比较容易将问题转化为是关于a，b的二元函数，再依次类比，分别再把a，b看作主元，转化为其最小值大于等于m的问题，从而解决问题。

学生解答本题时，容易利用换元将其转化为二次函数的绝对值最值问题，即则原命题等价于再记则原命题等价于再记从而原命题等价于

①当a=0时，

② 当a＜0时，此时

本题原本条件简洁，但结构复杂，学生较难入手。处理题中数据，将问题中的多元进行主次转换，逐一拆分，把问题转化成几个小的、同时又是学生掌握得较好的最值问题，再一一去解决，就会容易得多。此后的二次函数最值问题，则可结合函数图像，直观想象，恰当地分类讨论，数形结合便可解得

多元函数的最值问题有很多解决方法。函数问题的分析和解决，能使学生体会到数形结合、直观想象的重要作用，进一步提高对数据的分析、处理能力，培养学生的数学思维。不同问题的类比辨析，寻找共同之处，探究方法，学生的学习能力和核心素养都有所提高，这便是学习数学的意义和价值所在。