多一点方法 少一点运算

江苏省昆山市震川高级中学 姚 进

从教高中数学20年，经常听到学生说：这个题我懂了，但就是算不到结果。这其实反映了好多学生在学习数学过程中的一个怪圈：重思维，轻计算。数学核心素养是指具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展的人的关键能力和思维品质。高中数学核心素养包含六个方面，数学运算是其中重要的一方面。尤其到了高三综合复习阶段，培养、提升学生的运算能力成了提升数学水平的一个突破点，突破了该瓶颈，学生的数学素养才能更上一层楼。笔者认为数学教师在平时的教学过程中，应有意识地培养学生的运算能力，通过在教学中帮助学生寻找合理的、简捷的运算方法，进而提升运算能力，提高解题的正确率。下面略举几例，以飨读者，不足之处，敬请斧正。

一、运用定义，减少运算

在解析几何的学习过程中，大部分学生对一些题目是有思路的，但是就是算不到结果。其实很多题若想到利用定义去解题，往往可以减少很多运算。

解析：本题若按照常规解法，设C（x,y），依照题意，找出等量关系,列出等式然后两次平方、化简，运算量很大。但若利用定义求解。依照题意有由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以为焦点，长轴长为10的椭圆，同时去掉两个点（±5,0），最后得到点C的轨迹方程为

评注：常规方法是求轨迹的直接法，涉及复杂的运算过程，也是推导椭圆标准方程的过程，既重复，又烦琐。而定义法把问题直接转化成椭圆的定义，思路直观、明了，运算简洁，大大提高了正确率。

二、数形结合，减少运算

数形结合是一种重要的数学思想，它把数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，进而培养学生的创新能力，开拓了学生的解题思路。

例2 已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3]时，若函数在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 。

解析：构造函数y=f（x）与函数y=a，如图，则问题可以转化为以上两个函数在[-3，4]上有10个交点，作出函数的图像，易知当x=1时，方程 f（x）-a=0在x∈[-3，4]上有10个零点，由于函数f（x）的周期为3，因此直线y=a与函数的图像有4个交点，则

评注：数形结合思想在处理函数的零点问题、函数的周期问题、函数图像的交点等问题是一个有力武器，这个思想是高中学习函数的重要思想，教学过程中要加以强化。

三、联想类比，减少运算

在各种数学思想中，类比是一种重要的数学思想。在数学解题过程中，有时根据两个对象的某些属性的相同或相似性，通过类比分析，可以寻求简捷的解题方法。

例3 已知f（x）是定义在实数R上的实数，满足f（x+2）-则 f（2006）

解析：本题按照常规解法，需要猜出f（x）一定为周期函数，将已知条件化简，然后推导其周期，这样计算量比较大。但是若注意到条件可以化为类比联想到学过的两角和与差的正切公式我们通过类比，知道函数f（x）是周期函数，周期为的周期的倍，所以f（x）的周期为8，所以

评注：此题巧妙借助于两角和与差的正切公式的结构，联想类比，很容易得出函数f（x）的周期为8，简单明了，大大简化了运算过程。

四、运用对称,减少运算

解析：本题的常规思路是把所求的式子全部降幂，然后运用两角和与差的公式进行化简求值，这样运算比较麻烦，但若利用对称构造，则可另辟蹊径，简化运算，提高正确率。

解析：本题按照常规解法，涉及正整数的命题，可以用数学归纳法加以证明，运算过程比较烦琐，原题即是证明根据题目的结构形式，由数字的差异，考虑对称地插入数字，使其能约分化简。

评析：运用对称思想,进行整体构造,使问题更清晰，求解、求证更简便，这就要求我们在平时教学过程中要多强化对称思想，整体构造思想，进而培养学生观察、分析、处理问题的能力。

《高考数学考试大纲》要求学生的运算能力做到“能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径”。这就要求我们教师在平常的教学过程中，首先要重视该能力的培养，努力选取合理的方法，寻找简捷的途径，从而减少运算量，提高解题的效率，进而达到事半功倍的学习目的。