用双曲线的定义解题

湖南省岳阳县第一中学 彭志龙

双曲线的定义是双曲线的重要概念，对它的准确理解与正确运用对学好双曲线甚至整个圆锥曲线都很有意义，因此，本文揭示它的应用，谈用双曲线的定义解题。

一、抓定点，用定义

点评：双曲线上的点必满足双曲线的定义，本题抓住“交点”满足第一定义，通过使用第一定义我们可以求出双曲线方程中的基本量，对比其他方法无疑要简单许多。

二、借图形，用定义

那么△ABF2的周长为

点评：图形具有直观性。本题借助图形，利用第一定义，首先求出，尔后再求周长，显然是求解问题的一种策略。假若本题未给图形，条件“过F1作直线交双曲线的左支于A、B两点”中，再去掉“左支”两字，情况就大不相同，有兴趣可试一下。

三、抓定值，用定义

例3 一个中心有三个观测点，分别处于正东、正西以及正北三个方向。一天，位于正西以及正北的两个观测点同时听到了一声巨响，但是位于正东的观测点听到巨响的时间要晚4s，三个观测点距离中心都为1020m，试确定该巨响发生的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面内）

简解：如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为x、y轴的正向建立直角坐标系，设A、B、C分别为西、东、北观测点，则A（-1020,0），B（1020,0）C（0,1020）。设P（x,y），则|PB|-|PA|=340×4为巨响发生点，则由第一定义知a=680，c=1020，得b2=10202-6802=5×3402，∴方程为。由A,C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，因此P在直线y=-x上。

点评：本题抓住“正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4s”想到差为定值，进一步想到双曲线，使其转化为双曲线问题进行求解。

四、抓合作，用定义

简解：由于F(1,0)，且A(-2,4),B(4,4)在双曲线上，得。

即点P在线段AB的中垂线上，它到y轴的距离为1；

综合（1）（2）知P到y轴的距离的最大值为6。

评注：以双曲线的定义为出发点可以得出两种情形，其中的第二种情形根据椭圆定义可以得出椭圆方程，然后根据椭圆方程就可以求出结果。因此，想要解出这道题，就需要将题中的两种定义结合起来。

五、抓特征，用定义

令y2=3，则方程变为

显然，点(x,y)在以(-2,0)，(2,0)为焦点，实轴长为2的双曲线上，易得其方程为。

点评：本题的一个重要特征是差为定值2，由此出发，引入y2=3，使问题很巧妙地转化为几何问题，再结合双曲线的第一定义使问题获解，可以看出这种解法具有创造性。

至此可以看出：双曲线的定义是一个内涵十分丰富，应用非常广泛的重要概念。其实，椭圆、抛物线又何尝不是呢？建议读者建立在拙文的基础上，结合类比联想来看一下涉及椭圆、抛物线的定义会有哪些问题，也许你进入了一个妙趣横生的新天地。