韦达定理应用策略

江苏省扬州市竹西中学 宋 扬

一元二次方程根与系数的关系通常也称韦达定理，其重要意义在于：不满足于求根公式从已知探求未知所作出的贡献，又开启了解决问题的新途径，使许多问题能够方便、快捷地得以解决。特点是形式简单，内涵丰富；易学好懂，方法灵活；应用广泛，功效显著。尤其是思想方法体现了创新精神，对培养青少年的核心素养可以起到非常积极的作用，因此，学习和运用根与系数的关系是不可或缺的。

一、根与系数的关系概要

1.若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两个根，则有此结论称为一元二次方程根与系数的关系。特别地，若x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根，则有x1+x2=-p（一次项系数的相反数）；x1x2=q（常数项）。这种特殊形式具有普遍意义，因为只要将一般形式下的一元二次方程两边同除以二次项系数 a，总能得到二次项系数为1的方程。

2.上述一元二次方程根与系数的关系，是一元n（n∈Z,n≥2）次方程根与系数的关系的一种特例。韦达（1540～1603）是16世纪法国最杰出的数学家，他最早系统地引入了代数符号，推进了方程论的发展，其中包括发现代数方程根与系数之间有这种关系。一元n次方程根与系数的关系（表达式）统称韦达定理。

3.尽管一元二次方程的求根公式直接反映了根与系数的关系，但长期以来，人们习惯上只把两根之和的表达式与两根之积的表达式称为根与系数的关系，简称为韦达定理，用以与求根公式相区别。

4.推导出韦达定理的基本方法：

（1）根据求根公式分别代入，经计算（整理）即可得到。

（2）在等式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)中，将右边展开整理后，根据两多项式相等（恒等）的充分必要条件是同次项系数对应相等而得。

5.根与系数的关系在复数域上普遍成立，应用范围十分广阔。

6.初中阶段，一般只在实数域上讨论。运用根与系数的关系时，往往默认了方程有实数根，其隐含条件是判别式Δ≥0，a≠0。

二、韦达定理应用的各种类型

1.直接使用两根之和或两根之积的表达式。

2.求有关根的代数式的值。

3.确定方程中参数（字母系数）的值或其取值范围。

4.结合根的判别式（前提条件Δ≥0），讨论根的符号特征。

5.求作新方程，使其满足预设条件。

6.利用根的定义，建立相应方程，进而使用韦达定理。

7.逆向使用，构造方程，打开解题通道。

三、典型实例与详细解析

例1 已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个根为1，求它的另一个根。

解法一：设原方程的另一个根为α，则由韦达定理可得α+1=-1，即 α=-2。

解法二：由根的定义，将1代入原方程得m=-2，则由韦达定理可得α·1=-2，即α=-2。

其他解法：由根的定义先求得m=-2，然后代入原方程，并再解此方程，得到两个根1，-2。其中，另一根-2即为所求。

【点评】上述解法一为本题最佳解法。

例2 已知α，β是方程x2-5x-2=0的两个根，求α2-αβ+β2的值。

解：由韦达定理可知α+β=5；αβ=-2。

则 α2-αβ+β2=（α+β）2-3αβ=52-3×（-2）=31。

【设问】此题能否通过变形α2-αβ+β2=（α+β）2+αβ来求解？

例3 设x1，x2是方程x2-x-2017=0的两个根，求x13+2018x2-2017的值。

解：由根的定义得x12-x1-2017=0，即x12=x1+2017。

由韦达定理可知x1+x2=1，于是有：

【思路点睛】利用根的定义，化高次为低次。

例4 已知关于x的方程x2-kx+2k-1=0的两个实数根的平方和为23，求k的值。

解：设方程的两实根为x1，x2，则依题意有x12+x2

2=23，即（x1+x2）2-2x1x2=23。由韦达定理可知x1+x2=k；x1x2=2k-1。整体代入上式得k2-2（2k-1）=23，即k2-4k-21=0。解此关于k的一元二次方程得k1=7，k2=-3。但当k=7时，原方程的判别式Δ=49-4×13＜0，这与已知条件“原方程有两个实数根”相矛盾，于是将k=7舍去。所以k=-3。

【策略】设而不求，整体代入。

例5 若关于x的方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根为x1，x2，且x1x2＞x1+x2-4，求m的取值范围。

解：由韦达定理可知x1+x2=1；x1x2=

整体代入x1x2＞x1+x2-4得＞1-4，且依题意有Δ≥0，

即（-2）2-8（3 m-1）≥0。联立不等式组解得

【点评】 例4、例5都结合使用了隐含条件Δ≥0。

例6 设a、b、c为实数，且ac≠0，求作一个一元二次方程，使它的两根b分别为方程ax2+bx+c=0的两根的倒数加1。

解：因ac≠0，即有a≠0且c≠0。设原方程的两根为x1，x2，则由韦达定理可知又由c≠0得x1≠0且x2≠0，于是有：

即cx2+(b-2c)x+(a-b+c)=0。

【思路点睛】先正向使用，再逆向使用。

例7 已知a,b两数分别满足a2-5=15a，b2-5=15b，求的值。

解：当a≠b时，由根的定义知x2-15x-5=0,a，b为方程的两个不相等的根，从而由韦达定理可得a+b=15；ab=-5。于是有：

当a=b时，原式=2。

综上所述，原式=-47或2。

【思路点睛】利用根的定义，建立一元二次方程。

例8 设a,b两数分别满足19a2+99a+1=0，b2+99b+19=0，且ab≠1,求的值。

解：由题设条件知a≠0。将题中第一个等式的两边同除以a2得到又由ab≠1 得，结合题中第二个等式，可知，b为方程t2+99t+19=0的两个不同的根，

【关键点】将题设第一个等式两边同除以a2（a≠0），化成与题设第二个等式结构相同的形式。

例9 已知a，b，c都是实数，且a+b+c=0，abc=1。求证：a，b，c中必有一个大于。

证明：由a+b+c=0及abc=1易知a，b，c中有一个正数、两个负数，不妨设a为正数。由题设又可得b+c=-a；bc=因此，b，c是方程的两个根。因为b，c是实数，从而上述方程的判别式Δ=a2-4·又因为a＞0，所以a3-4≥0，a3≥4。于是有

四、应用策略、方法和技巧

1.设而不求、整体代入是韦达定理应用的基本思想和优势所在。

2.有关根的代数式求值要领是：先将式子作恒等变形，转化为两根之和与两根之积的表达式或其中之一，然后整体代入，继而求解。

3.韦达定理本身具有对称性。对称式一般都可用韦达定理来表示，即表示为x1+x2或x1x2及其运算的形式。对称式的常见变形有：

4.非对称式求解经常用到的方法和技巧：

（1）恰当组合；

（2）运用根的定义降次；

（3）作恒等变形或同解变形；

（4）构造对称式；

（5）整体变换或部分变换。

5.根据需要运用隐含条件，结合使用根的判别式。

6.利用根的定义建立方程，需要先找出（或经变形得到）两个结构相同的二次等式。

7.逆向使用韦达定理，就是运用韦达定理的逆定理，构造一元二次方程，进而解决问题。其关键是能慧眼识金，找出（或设法得到）两变元之和的表达式与该两变元之积的表达式。

五、教学安排要领

1.开设数学活动课。

2.利用课余时间举办专题讲座。

3.印发补充讲义，作为课外阅读材料（兼课前预习）。

4.充分利用数学之窗。

5.讲清内容本义和应用的思想方法：

（1）根与系数的关系所指的内容是什么？

（2）为什么要学习根与系数的关系？

这部分不仅对于一元二次方程根的认识的深化、后续课程相关内容的学习（如二次函数等）以及初高中衔接是必要的，而且与所学知识点的联系较多，应用广泛，体现了学以致用的品质和创新思维。

（3）什么叫设而不求，整体代入？

（4）根与系数的关系有什么作用？

（5）以典型实例为引导，精讲精练，师生互动，让同学们熟悉韦达定理应用的基本类型，掌握求解策略和具体方法。

[1]黄东坡．韦达定理，数学探究应用新思维九年级[J]．武汉：湖北人民出版社，2016．

[2]葛军．根与系数的关系及其应用，奥数教程（九年级）第六版．上海[M]：华东师范大学出版社，2014．