“错位相减法”在高中数学数列中的应用研究

湖南省浏阳市第一中学 黎 湘

“错位相减法”在高中数学数列中的应用研究

湖南省浏阳市第一中学 黎 湘

在高中数学教学中，数列问题是整个高中数学的重点，同时也是教学的难点。具体体现在数列问题涉及的公式较多，公式的变换也比较复杂。此外，出题的模式多样化，做题的技巧也是多变的。因此，要学好数列问题，必须充分掌握每一种做题技巧，并能熟练运用。本文就“错位相减法”在高中数学数列问题中的应用做出几点阐述。

错位相减法；高中数学；数列；

在数列问题运算中，首先要对数列有明确的定义，对相关公式准确记忆，并把数列的有关分类和不同的分类下所对应题目的特点和运算方法进行有效掌握，并通过实际的训练锻炼对知识的运用能力和对新知识的转化能力。

一、对数列的介绍

数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫作这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫作首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。数列相当于一种特殊的函数，因为它有一定的定义域和值域。数列的定义域是正整数或者是它的有限子集。在解决数列的问题时，用函数的思想进行思考，可以使问题简化，增强学生对问题的认识和理解。其思想方法包括列表法、图象法和解析法。对于逻辑关系较简单的数列，可以用列表法和图象法解决，这种方法比较直观，能看出变化的趋势以及数列的走向。而当问题较复杂，所包含的不仅仅是简单的数值，还有未知数甚至函数关系时，就要用解析法来解决问题，通过总结推理出数列的递推关系式解决数列问题。

再将数列进行细分，可分为等差数列和等比数列。等差数列，就是一个数列从第二项起，每一项都与前一项相差同一个常数。而这个相同的常数就是等差数列的公差。相同的，等比数列就是数列的每一项与前一项的比值都相同，为一个固定的常数，这个数称为公比。在计算与应用中发现，等差数列和等比数列都有相应的求和公式。等差数列的求和公式为：而等比数列的求和公式为虽然运用公式对等差等比数列求和很方便，但是，当出现公式不适用的情况时，就需要用特殊的求和方法。

二、对“错位相减法”的介绍

“错位相减法”是一种特殊的数列求和方法，它适用于一般的等差数列和等比数列相乘时的求和运算，即适用于的形式的数列运算。在运算时，分别列出Sn（把公式中的n从1到n分别带入，中间部分可以省略），再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即q·Sn；然后错开一位，两个式子相减。这种数列求和方法叫作错位相减法。

三、应用“错位相减法”解决数列问题

1．对出题形式良好把握

在讲课过程中，老师要将每一种题型进行有效的分类，让同学们对出题形式进行良好的把握。此外，老师在讲课时也要帮助学生理解，而不是把知识“硬塞”给学生。要将“错位相减法”的适用题型、思维方式、应用的具体步骤以及每一步骤的应用思路都讲给学生，让学生对基础知识进行充分的理解。只有对思路和方法有了良好掌控，才能在真正意义上理解这种做题方法，在以后的运用中才能更加方便灵活。

比如，在计算求和Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）·xn-1（x≠0，n∈N＊）时，老师应该先带领同学观察题目，发现Sn的每一项都是两部分相乘，再将这两部分分别对比来看，前一项分别是：1、3、5、7、……n，是一个公差为2的等差数列；而后一项分别为：x、x2、x3、x4、……xn-1，是一个以x为公比的等比数列。显然，这个数列是等差数列与等比数列相乘的数列，求和时应该运用“错位相减法”进行求和运算。但是，老师要提醒学生等比数列的公比要进行讨论，分为x=1和x≠1两种情况，再进行接下来的运算。

当x=1时，Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2。此时不需要运用“错位相减法”，直接就可得出结果。

当x≠1时，Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1，此时考虑“错位相减法”，等式两侧同时乘以公比x：

∴ xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn，

两式相减得（1-x）Sn=1+2（x+x2+x3+x4+…+xn-1）-（2n-1）xn，

最后将式子进行化简得Sn=（1/1-x）+2x-2/（1-x）2

老师带领着学生对每一步进行分析，一起运算。整个过程，老师只负责板书示范，学生负责思考，通过具体的举例，加深学生对“错位相减法”的理解，促进学生对此运算方法的有效运用。

2．巧妙将问题转化

在学习中，学生们逐渐掌握了每种题型所用的具体解决方法，在做题时，学生可以根据具体问题做出迅速反应，找到解题方法。但是，这也导致我们在思考问题时过度模式化，看到问题直接急着去给它下定义，然后找解决思路。可现在很多数列问题都没有明确的等差或者等比数列的标志，需要我们进行转化，然后进行答题。

再好的理论，没有实践的训练也是没有实际意义的，因此，要通过具体题目进行公式和运算方法的练习，通过训练来培养学生的思维能力，加强学生对知识的掌握和运用能力，让学生在主动思考中体验学习的乐趣，在不断练习中争抢学习数学的自信心，促进学生更好地学习。

[1]贾士代．漫谈错位相减法的应用[J]．数学教学研究．1986．

[2]黃光鑫．解向量问题的错位相减法[J]．数学大世界（高中生数学辅导版），2005．