高中数学解题中代换法的灵活应用

江苏省盐城市阜宁县东沟中学 张达连

高中数学解题中代换法的灵活应用

江苏省盐城市阜宁县东沟中学 张达连

在高中阶段，数学知识相对于其他科目的知识比较困难。数学题具有一定的综合性,几乎每道题都会运用以前的知识点，但就是因为数学学习的这种特点，数学问题的解决对学生来说非常困难，有时候即使了解了很多知识点，也无法正确解决数学问题，久而久之，容易让学生产生一些不自信的心理，影响学生对数学知识的掌握。为了解决这些问题，提高学生对数学知识的学习能力和灵活运用知识的能力，笔者总结了高中数学三角函数、比值代换、变量代换等经典代换方式来解决数学问题，以提高学生的数学能力。

高中数学；灵活运用；解决问题；代换方式

高中数学问题一般都会存在一个或多个未知变量的条件，这些未知变量的出现提高了解题的难度，让数学问题变得更加综合和复杂。在解决这些问题时，如果使用一定的数学思想或者数学方法来更换解题思路和方式，可以将很复杂的关系变成简单易懂，容易进行解答的问题。代换法就是一种能够将数学知识化复杂为简单的方式。代换法有函数代换、变量代换、等量代换等。需要学生熟练掌握这些数学思想，理解代换方法的解题步骤和原理，充分提高自身解决数学问题的水平，进一步提高数学成绩。

一、代换法在函数问题中的运用

在题目中已知函数其他有关条件，求函数本身的关系式时，就可以利用变量代换的思想来进行求解。例题：已知求。在此题的解答中，因为方程左边的变量比较复杂，所以可以设因为不能直接求出右边对应的关系表达式，所以对右边的式子进行观察，看是否能用t表示出来，化为有关t的函数。右边的化解过程：方程上下同时除以可以看作从而得到函数为又例题：已知这道题可以令求出直接将x的值带入原式即可得解。当一个题出现了多个变量的复杂问题时，要选择合适的变量进行变换，如下例题：已知x为任一非零实数，求在这道题的解答中，需要代换出所以可以设则原式等于再对式子进行转化和原式联立可得从而得出

函数在高中的学习内容还包括求函数的极限内容，课本上最常见的方式就是利用洛必达法则，主要是针对的形式进行思维扩展，还可以运用于等方面的内容，但是并不是所有类型都直接是属于等的形式，需要学生进行特殊的转换。比如例题：求极限虽然通过观察和计算可以得出是型，但是如果直接使用洛必达法则，很容易将幂函数的次数越化解越高，所以需要对此进行转换，降低幂函数的次数，令则原式化解为这道题就是将高次幂转化为了的形式，从而简单求出了极限。

二、代换法在微分积分中的运用

变量代换法又叫换元法，第一换元法为凑微分法。换元法的步骤在定积分和不定积分中基本相同，但需要注意在定积分中，换元还需要换限，常见的积分中的换元法有算式代换、根式代换和三角代换、指数代换等。

微分方程是数学学习过程中一个非常重要的模块，一阶的微分方程是微分知识的基础部分，所以还需要我们掌握其方程的求解方法。一般使用分离变量的代换方法形成方程，进而求解。

三、代换法在概率问题中的运用

概率问题在高中数学中可难可简单，因为概率问题涉及的知识面比较广，所以需要学生具备一定的分析能力，在学习概率和解决概率问题的过程中，要有灵敏的思维，使用科学的做题方式来有效地解决问题。例题：一个黑箱子里面有四个白球，八个红球，这些球除了颜色的区别以外，其他都是一样的。如果同学甲随机地在这个箱子中一下拿出五个球，求此时拿出红球的概率是多少？此题的解题过程为：设摸出的球中红球个数为a个，根据题目和概率基础知识可以得出P答：随机从黑箱里拿出五个球，其中摸出红球的概率为0.42。又如例题：在A市有一个超大型的商场，为了让商品尽快销售，制定了一个促销活动，活动中有一个抽奖不透明的纸箱，箱子里有十个大小形状相同的小球，依次按照一到十的顺序编号，其中有两个黄球，八个白球，每一个抽奖的顾客都可以一次性拿出两个球，如果全是黄球，就是一等奖。求顾客摸球是一等奖的概率。解答：此题可以用求的样品数除以总的样品数，从十个球中抽取两个球有从两个黄球中抽出两个黄球有种，所以可以求出顾客能够中一等奖的概率为：求出得1/45。

在利用代换法对数学方程问题进行求解时，需要抓住题中给出的已知条件和各变量及所求量之间的关系。例题：一条直线与直线L1，L2相交，并且此直线经过点（-3，5，9），L1：y=3x+5，z=2x+3，L2：y=4x-7，z=5x+10，求该直线方程。解答过程：设x=-3+lt，y=5+mt，z=-9+nt，将此式代入L1的表达式中，化解x、y、z得x=-3+ls，y=5+ms，z=-9+ns，再代入L2的表达式中，得出m=22l，l=1，所以m=22，n=2，从而解出直线方程。

总的来说，代换法是高中数学中常用的思维思考方式，其不仅可以在很大程度上简化做题的过程，帮助学生扩展和延伸一定的解题思维，提高学生思维的发散性，而且可以灵活地运用各种变量之间的关系将复杂并且综合性强的数学题目进行简化，让学生感受到解答数学题的成就感，从而在数学的学习中找到乐趣，激发学生学习数学的热情和动力。所以在数学的学习过程中，一定要善于运用综合归纳、假设的思想，学会运用数形结合、等量代换等解决各种综合性强的问题，提高学生的学习能力。