几何法探求圆锥曲线的中心

福建省福安市第二中学 高丽星

几何法探求圆锥曲线的中心

福建省福安市第二中学 高丽星

从曲线与方程中不难知道，由方程容易判断曲线是否有对称中心；但由部分图象确定曲线的中心问题可以用代数方程方法处理，也可以用几何作图方法得到圆锥曲线一部分图象探求其中心，以下谈谈自己的实践与思考。

一、圆定三生

已知圆的一部分图象（即圆弧），确定圆的中心（即圆心）方法：在圆弧上任作两条不平行的弦，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于一点，则点 就是该圆弧所对应的圆的中心。椭圆是圆的压缩或变换，那么已知椭圆的一部分图象能确定椭圆的中心吗？

椭圆是一个中心对称图形，过中心的任意一条弦都会与椭圆有两个交点，并且这两个交点关于中心对称，即中心为该弦的中点。若将一组平行弦继续作一系列平行弦，则其中必有一条是过中心的弦，当这一组平行弦的所有中点共线时，将这些中点连起来形成一条直线（记这条直线为），则椭圆的中心在上，同理，中心也在另一组平行弦的中点连线 上，则的交点就是椭圆的中心。其作法如图所示： 在椭圆弧上任作两组平行弦A1A2∥B1B2，C1C2∥D1D2，其中不平行于分别取线段的中点为 ，连接相交于点则点就是该椭圆的中心。

接下来的问题就是要证明这组平行弦的所有中点共线即可，现证明如下：

二、不离不弃

可以大胆猜想类似椭圆方法处理双曲线两支的部分图象探求其中心问题，如图做出两组平行弦中点连线的交点即为中心，以下证明平行弦中点共线即可。