从“一维”到“二维”的长方形面积教学

浙江省义乌市赤岸小学 朱惠霞

从“一维”到“二维”的长方形面积教学

浙江省义乌市赤岸小学 朱惠霞

关于“长方形、正方形的面积计算”教学会有这样的争论：有的人认为长方形的面积计算公式可以通过推导得出：长几表示长边可以放几个面积单位，宽几可以表示宽边可以放几个面积单位，最后通过乘法计算出面积。通过教学要让学生明白为什么长乘宽等于长方形的面积。也有另一拨人认为长方形的面积公式怎么可能在小学被推导出来？长度不够整数怎么办？假设长度是怎么办？它的推导需要应用极限的知识。长方形的面积计算在小学里只能视作一种公理，无法推导。因此，长方形的面积计算的设计思路应该是实验——猜想——验证——概括，像这样的不完全归纳。我在教学操作中，同样把长方形的面积计算公式作为公理对待，同样启发学生明白为什么长乘宽（整数数据）等于长方形的面积。在侧重培养“空间观念”、“空间能力”的思考下演绎出了不一样的课。

一、在操作中积累空间知觉，强化面积单位的表象

上课开始，我引导学生进行了两个重要的操作。

操作1：我们学具袋里有小方块，打开看看，你觉得这里有1平方厘米吗？怎样才能验证它是1平方厘米？

操作2：用这些小方块去求出1号长方形的面积是多少。方法越简单越方便越好。

【这两个操作可谓是整节课的基础。它让学生再次感知了长度单位和面积单位的关系，面积和面积单位的关系，同时也强化了之前建立起来的面积单位的表象。】

二、在反馈中形成表象，为发展想象做准备

1.交流铺满。

师：面积是多少？

生：15平方厘米。

师：也就是说这个长方形里可以摆满15个1平方厘米。这15个怎样数比较方便？

生：三五十五。

师：三五十五说明这里有3个5。你看到了没有？我们一起来数数看：1个5,2个5,3个5。【在这个反馈交流中，学生形成几个几排列的表象。】2.交流半铺。

师：刚才我发现有些同学是没有铺满的，也能求出15平方厘米，是怎么回事？

生：横着摆3个，竖着摆5个就能知道有多少了。

师：谁听明白他的意思了？（停顿）能用一个算式表示它的想法吗？生：3×5=15（平方厘米）。

师：乘法一般表示几个几，它表示几个几？第一个5在哪里？第二个5呢？还有一个呢？

师小结：没有铺满，我们可以推断出它铺满是多少，厉害！这样我们就可以不用摆那么多1平方厘米了。

3.交流用一个小方块去量。

师：他只用了8个，还有没有用得更少的？

生：1个。

生：1个都没有！

师：用1个？你是怎么想的？

生：就用1个小方块先横着摆过去，再竖着摆过去，就知道面积是多少了。

师：谁懂他的意思了？这样摆怕一下子忘了横着摆几个了，谁有好办法？

生：摆一个做一个记号。

4.交流不铺。

师：一个都没有是怎么回事？

生：用尺子量。

师：用尺子量能量出面积吗？你们也用尺子量量看，认为能量出来的举手？

师：谁来说说你是怎么想的？

【操作反馈的教学从“全铺——半铺——用一个面积单位量——不铺”四个层次展开。虽然小方块是一块一块地拿走，但其“3个5”全铺的动态过程被不断地重现。最后虽然不铺了，用尺子量，孩子也会自动呈现全铺的动态过程。这为接下来“几个几”的想象奠定了表象基础，同样为帮助长方形的面积计算实质是面积度量奠定了意义基础。】

三、在想象中促成两次飞跃

1.有了3个5这个表象基础，紧接着我出示了长5厘米，宽2厘米的长方形，让学生量出它的面积。思考：为什么宽少了1厘米，面积会少了5个？这样的练习促成了孩子初步的想象，促进直接度量到间接度量的过渡。

2.出示一个长方形，用尺子量出这个长方形的长是10厘米。你想到了什么？（根据学生回答依次出示后两张幻灯片）

3.出示宽8厘米，你想到了什么？（根据学生回答，依次出示后两张幻灯片）

【今后我们碰到解决长方形的面积问题都是提供数据的“间接计算”得出结果，很少会再碰到用面积单位的直接度量。但尺子几乎每天都陪伴着学生们，是最便捷的直观工具，它是完成直接度量到间接计算飞跃很好的认知材料。尺子像小方块一样从有到无，目的就是为了把尺子这种印象刻画在脑海里，形成长度单位的表象，建立长度单位和面积单位的关系，从而很好地衔接了这次飞跃。】

四、在想象推理中建立二维空间观念，突破一个难点

1.二维空间的建立。

师：这里有一个长方形，它的长是9厘米，你能想到什么？（只出示数据不出示图形）

生：横着可以摆9个。

师：能想到它的面积吗？为什么？

生：不能。宽不知道。

师：宽不知道，就不知道要摆几行了？那么告诉你宽是4厘米，你能想到什么？

【我们要注重二维、三维空间观念的建立。在六年级“常见的量”总复习的教学实践中我们会发现，这种观念欠缺的孩子会出现下面这样的错例。】

认为面积单位的进率如图（1），体积单位间的进率如图（2）。

图（1）

图（2）

2.借助“间接度量”到“间接计算”的思维提升，突破“统一长度单位计算”的难点。

师出示：长9分米，宽4分米的长方形（只有数据没有图）。师：这个跟刚才的长方形有什么不同？你能想到什么？长9米，宽4米呢？

师：比较这三个长方形有哪些共同点。不同点在哪里？它们的单位和什么有关？有什么关系？

师：能用2×3=6来算吗？为什么？

师：你觉得这个长方形用哪个面积单位去量比较合适？

根据学生的回答出示这样的幻灯片。

【以前我们只知道要求学生统一单位计算，而为什么要统一单位，学生对此还是很困惑的。“长2分米，宽3厘米的长方形面积为什么不是3×2？”这道题说明了“间接计算”比起用尺子“间接度量”它更加抽象，有尺子的长方形相对来说是直观的。“间接度量”到“间接计算”是需要以尺子的表象为支点（或者说单位的表象）跨过来的。这个跨越分成了三个层次：（1）有尺子的10厘米到没尺子的8厘米的出现。（2）由长和宽是什么长度单位去想象相应的面积单位。（3）思考单位不一样，选择怎样的面积单位比较合适。相信借助“尺子”表象的建立，通过想象推理，学生会发现边长用什么长度单位随之会对应一个什么样的面积单位。当长和宽的单位不一样时，需要统一单位才能想象推理出它的面积是多少。】

3.练习二维和一维的转化，强化一维和二维的联系。

到课最后出示了这样一个开放式练习：

根据这幅图你想到了什么？想得越多，说明你这节课学得越好。孩子会想到面积，想到边长，又进而想到周长。

从一维的长度想到二维的面积是这节课的难点，整堂课通过操作、建立表象、想象推理，借助尺子等材料突破了“直接度量”到“间接计算”的飞跃，同时培养了孩子的空间能力，最后从二维想到一维又是认识的升华。当思维能自如地在一维和二维之间互相转化时，长方形面积公式的归纳也是水到渠成的事。在度量几何的教学中，这样的一节课的意义是非凡的。