从互动共生视角看课堂教学*——《有理数的乘法（1）》教学与反思

江苏省南通市通州区平潮实验初中 陆志强

从互动共生视角看课堂教学*
——《有理数的乘法（1）》教学与反思

江苏省南通市通州区平潮实验初中 陆志强

课堂中的互动既可能是师生、生生思维的冲突，也可能是思维过程的相互补充，最终达到共识、共享、共进的教学相长的境界。通过课堂教学系统诸元的互动，学生开展自评与互评，自我认识、自我教育、肯定成绩、找出差距、总结经验、互相学习、共同提高，同时，学生的思维活动亦能促动教师即时形成高屋建瓴的教学智慧、极具生本的教学策略、以学定教的教学方法、螺旋上升的教学过程，最终实现教学相长。

情境互动；自我互动；生生互动；师生互动；自主生成；课堂教学

新课程关注人的发展，提倡把教师和学生都看成是课堂教学过程中的主体，以学定教，以学促教，教基于学，教服务学。学生在互动中分享经验，在探究中感悟学习，在合作中深化学习，在实践中应用学习，同时，教师在价值观的引领下，教育理念与专业精神不断重构与塑造，基于广泛学习的专业和非专业知识不断拓展，教育智慧不断提升，从而使师生产生互助，达到互惠，实现互长，使整个数学课堂教学形成共识、共振、共享、共进的氛围，最终实现师生共同的生命成长。2015年5月，笔者作为主持人为南通市中小学教师暑期网络研修资源开发（七年级数学）执教义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》七年级上册第一章第四节《有理数的乘法》的第一课时。通过以学定教，以学促教，引发学生的自我互动及师生、生生、个体与教学环境等的多重交往互动，使师生的视域不断融合。本文呈现教学分析、教学实录与反思，期待与同行交流。

一、教学分析

1.教材分析

有理数的乘法是在学生小学非负数的乘法和有理数的加法运算基础上学习的，因此，有理数的乘法运算，在确定“积”的符号后，实质上是小学非负数的乘法运算，思维过程就是如何把中学有理数的乘法运算化归为非负数的乘法运算。而有理数乘法法则本质上是一种规定，这种规定的原则是“使原来的运算律不变”，因为只有这样，才能使数学的发展建立在原有基础之上。有理数的乘法是有理数最基本的运算之一，因而它是进一步学习有理数其他运算的基础，也是今后学习实数运算、代数式的运算、方程以及函数知识的基础。学好这部分内容，对增强学习代数的信心具有十分重要的意义。

2.学情分析

七年级学生处于形象逻辑思维向经验型的抽象逻辑思维过渡的阶段，需要感性经验的直接支持。他们已有的知识结构是：小学阶段已经熟练掌握了非负数的乘法运算，加之前一阶段学习了有理数的加法，初步理解有理数运算与非负数运算的异同，有理数运算在确定符号以后转化为小学非负数的运算，但是还没有形成深刻的、正确的认识，在具体运算过程中，还经常会出现混乱的现象，在进行有理数乘法运算时因受加法法则的负迁移，确定符号时常常会出现问题。

二、教学目标及重难点

基于上述分析和理解，确定本课的教学目标和教学重难点如下：

1.教学目标

（1）理解有理数乘法法则，能利用有理数的乘法法则进行计算；

（2）能说出有理数乘法的符号法则，能用例子说明法则的合理性；

（3）经历乘法法则的发现过程，初步体验知识建构的一般规律。

2.教学重难点

教学重点：有理数乘法法则及其应用。

教学难点：有理数乘法符号法则。

三、课堂实录及设计意图

1.创设情境

师：同学们，前面我们研究了有理数的什么运算？

众生齐答：有理数的加减。

师：请说说你是怎么理解有理数的加法的？

生1：有理数的加法可以分为“正数+正数，正数+0，负数+0和正数+负数”。

生2：有理数相加，要先确定结果的符号，再确定结果的绝对值。

师：都是如何确定的？

生2：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。

师：如何进行有理数的减法运算？

生3：转化为加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）。

师：我们研究了有理数的加减，按照小学里的经验，接下来该研究什么？

众生齐答：有理数的乘除。

师：今天这堂课，我们就一起来学习有理数的乘法。（板书课题）

师：类比有理数的加法，引入负数后，乘法运算会出现哪些情况？

生4：正数×正数，正数×负数，正数×0，负数×0。

生5（补充）：还有负数×负数。

师：观察下面的乘法算式，你能发现什么规律？

生6：这些算式中，一个因数不变，另一个因数逐次减1，积逐次减3。

生7：这些算式是正数×正数或者正数×0。

【设计意图】基于学生的“已有认知”，引导学生观察、发现算式的规律，意欲在复习回顾旧知的同时，也为新知的获取做好铺垫，有利于中小学知识的衔接。

师：根据刚才发现的规律再续写三个算式，并观察结果。

生8：3×（-1）=-3；3×（-2）=-6；3×（-3）=-9。

师：这三个算式我们以前见过吗？你是怎么得到最终结果的？

生9：这三个算式是正数×负数。第一个因数不变，第二个因数逐次减1，乘积逐次减3。

师：请结合所有的七个算式，从符号和绝对值两个角度观察，你能发现什么结论？请做出合理的解释。

生10：两个因数的乘积等于这两个因数的绝对值的乘积。

生11：应该是积的绝对值等于这两个因数的绝对值的积。

生12：正数×正数结果还是正数，正数×0得0，正数×负数得负数。

【设计意图】利用前面发现的算式规律，结合有理数加法的研究经验，组织学生观察、分析、讨论，自主发现正数×正数、正数×零、正数×负数的一般规律：正数乘正数，积为正数；正数×零，积为零；正数乘负数，积为负数；积的绝对值等于各因数绝对值的积。

2.互动探究

师：小组讨论一下，能否类比刚才的办法写一组式子，探索负数乘负数的规律？

师：请解释一下。

生13：第二个因数不变，第一个因数逐次减1，积逐次减3。而且发现正数×负数得负数，0×负数得0，负数×负数得正数。

师：从绝对值角度研究呢？

生13：积的绝对值等于这两个因数的绝对值的积。

【设计意图】学生调用已有的认知对式子进行探究，在探究过程中教师适时加以点拨，使学生对接前面的正数×负数，沿着已有的经验走下去，主动生成了“负数×零”、“负数×负数”的情况，这体现了知识内部相容同构的观点。通过互动探索，对于攻克本课难点，启迪学生思维，有着水到渠成的妙用。

3.发现新知

师：能否类比有理数的加法法则，结合刚才的探究过程，归纳出有理数的乘法法则？

生14：两数相乘，符号相同得正数，符号不同得负数，再把它们的绝对值相乘。零乘任何数都得零。

师：有理数乘法法则与加法法则有何类似之处？

生15：都是先确定符号，再确定绝对值。

师：你们认为有理数的乘法与小学里所学的乘法运算有何联系？

生16：其实有理数的乘法在确定了结果的符号后，最终都化成小学里的乘法运算（正数乘正数或正数乘零）。

【设计意图】引导学生类比有理数加法法则可发现：有理数的乘法运算也是先定符号后定值。通过分层探索，层层深入，不太明晰的数学概念在逐步推进中豁然淡出水面。而只有真正领悟了概念的核心，才能更好地用概念解决问题，从而在学习的过程中发展自己的能力。

4.运用新知

例1计算：

学生独立完成，结果展示。

师：观察（3）、（4）两题你有什么发现？能得出什么结论？

生17：一个数同（-1）相乘得到的结果是这个数的相反数，一个数同1相乘得到的还是这个数。

师：5是哪个数的相反数？5可以写成哪两个数的乘积？

生18：5是-5的相反数，5=（-5）×（-1）。

师：观察（5）、（6）两题你又有什么发现？能得出什么结论？

生19：结果都等于1，两个数互为倒数。

师：很好。引入负数，数的范围就扩充到有理数，我们仍然有“乘积为1的两个数互为倒数”。你觉得互为倒数的两个数有什么明显的特征？

生20：乘积等于1。

生21：两数一定同号。

【设计意图】巩固有理数乘法法则，进一步深化对法则的理解。同时拓展和深化了倒数、相反数的概念。

师（出示例2）：用正负数表示温度的变化量，上升为正，下降为负；用正负数表示时间的变化量，现在以后为正，现在以前为负。列式并计算在下列情形下温度有什么变化。

（1）温度每小时上升3℃，2小时后温度？

（2）温度每小时下降3℃，2小时后温度？

（3）温度每小时上升3℃，2小时前温度？

（4）温度每小时下降3℃，2小时前温度？

（学生小组合作探究）

生22：（1）3×2=6，温度每小时上升3℃，2小时后温度上升6℃。

（2）（-3）×2=-6，温度每小时下降3℃，2小时后温度下降6℃。

（3）3×（-2）=-6，温度每小时上升3℃，2小时前温度比现在低6℃。

（4）（-3）×（-2）=6，温度每小时下降3℃，2小时前温度比现在高6℃。

师：这个实际问题从另一个角度说明了有理数乘法法则的合理性。

【设计意图】通过实际问题的解决，使有理数的乘法运算得到具体形象的支撑，通过具体情境帮助学生建立“合理”的接受环境。

5.自主训练

（1）填表：

（2）计算：

（3）用“＜”或“＞”填空：

①如果a＜0，b＞0，那么ab___0；

②如果a＜0，b＜0，那么ab___0。

（学生自主完成后展示）

【设计意图】从正反两个方面巩固有理数的乘法法则。

6.拓展探究

师：观察下列各式，你有几种方法判断下列式子的积是正的还是负的？

（学生互动交流后归纳结论）

生23：利用有理数的乘法法则，依次计算发现四个算式的积的符号分别为：-，＋，-，＋。

生24：-5是5×（-1），而2×3×4×5是正的，再乘以-1就是负数了，同样道理可知其他算式结果的符号依次是＋，-，＋。

生25：我们认为，几个有理数相乘，只要数负因数的个数，即可判断结果的符号，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负。

师：确定多个有理数相乘的积的符号，大家觉得哪种方法更快捷？

众生：生25。

师板书：几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为正，当负因数有奇数个时，积为负。

【设计意图】通过学生合作交流，自主发现多个有理数相乘的符号规律。这本身也是有理数乘法法则的拓展和推广，准确的结论有待下一环节进一步完善。

7.深化理解

师（出示例3）：

计算：

（学生板演第（1）（2）两题，师生共同点评）

师：看第（3）题，结果是？

生26：0，任何数乘0都得0。

师：那么刚才我们发现的结论是否存在瑕疵？

生27：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有偶数个时，积为正，当负因数有奇数个时，积为负。

【设计意图】巩固多个有理数相乘的符号法则，其中第（3）题的设置是为了进一步完善发现的结论。

8.自主反思

师：今天这堂课我们研究了什么问题？有哪些收获？

生28：有理数的乘法，先确定符号：同号得正，异号得负；再确定绝对值：把各因数的绝对值相乘。

生29：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有偶数个时，积为正，当负因数有奇数个时，积为负。再把绝对值相乘。

生30：有理数的乘法运算可以转化为小学的正数乘正数或正数乘零。

师：研究了有理数的乘法，接着研究什么呢？如何研究？

生31：有理数的除法，把它转化成乘法进行。

师：好，下节课我们一起学习有理数的除法，下课。

【设计意图】引导学生从知识内容和探究方法等方面进行小结，在完善知识、方法结构的同时，也明确了后续研究方向与途径。

9.自主调控

（1）下列计算正确的个数是（）

①3×（－4）＝－12；②（－4）×（－6）＝24；

③（－5）×（－1）＝－5；④（－2）×12＝24。

A.1B.2C.3D.4

（2）若abc>0,则a、b、c中负数的个数为（）

A.3个B.1个C.1个或3个D.0个或2个

（4）（－5）×8－（－2）×（－3）＝_________。

（5）计算下列各题：

（6）思考题：

①当a＞0时，a与2a哪个大？

②当a＜0时，a与2a哪个大？

【设计意图】考虑不同学习程度的学生的需求，为各层次学生的后继学习提供数据支撑。

四、教学反思

本节课的教学是在精准设问的基础上，以互动交流为主，充分调动学生的积极性，通过“观察—交流—探究—发现—归纳—拓展”等一系列的过程，学生一直带着问题参与，在互动中自主生成提升，掌握探究之法，在体验中丰富数学思考，感受数学之美，而教师始终是合作者，陪伴学生的学习过程，与学生协同探索合适的学习方法和途径。

1.情境互动，激发生成

设计学生熟悉的情景，创设问题，让学生从已有知识或客观事实出发，在体验﹑研究问题过程中产生自主探索和解决问题的跃动心态，激发其生成新问题。

本课通过回顾有理数的加减法与小学乘法运算，学生自主生成有理数乘法运算可能出现的情况，为下一步深入研究有理数乘法法则做好充分的准备。可见，用好情景互动，可以调动和激励求知欲望，把一些“原初问题”转化为“本源性问题”，学生能迅速进入思维的“最近发展区”，进而提炼生成涉及数学本质的问题，更具数学味，以提升问题意识和生成问题的能力。这就要求我们教师在预设时认真做好与文本（学材）的互动。

2.自我互动，启动生成

H·布鲁默在《象征互动论》中指出：人能够与自身进行互动——自我互动。在这个过程中，人能够认识自己，拥有自己的观念，与自己进行沟通或传播，并能够对自己采取行动。学生有了“启、发、愤、悱”的跃动，必然引发从“自我”到“超我”的观照，变“我能要”为“我应该要”。

如本课教师追问“能否类比刚才的办法写一组式子，探索负数乘负数的规律？”学生在已经获得算式规律的基础上萌动出“第二个因数保持不变，第一个因数逐次减1，积逐次减3。”获得探究的方向，启动“负数×负数”的研究，而这些均是在学生自我互动、自我认知的情况下完成的。

3.生生互动，启发生成

在自由、民主、和谐、相互协作的课堂氛围下，学生自主参与学习的全过程，通过生生质检的互动，触发学生的“思”、“探”、“创”。学生在相互互动的过程中比较分析，进而生成符合个人认知特点的内化知识。

在拓展研究环节，教者抛出问题：“观察下列各式，你有几种方法判断下列式子的积是正的还是负的？”引发同学之间热烈的互动讨论，每个学习小组都能找到相应的办法，再通过比较、完善，最终总结出解决此类问题的规律。生25的发现实际上是受到生24的启发，可见课堂中的生生互动可以推动问题不断向着本真发展。

4.师生互动，自主生成

教师和学生都是课堂教学活动的主体，课堂教学中依凭师生的多维互动所生成的反馈信息，实时调整课堂的长度、广度、宽度、温度、速度和深度，产生师生思维碰撞的过程。通过师生互动，师生的视域不断交融、扩大和丰富，学生对有理数乘法法则的生成经历了一个师生视域不断融合的过程，在这一过程中，促进了学生对法则本质特征的理解和深化。对于教师来说，从学生的实际出发，根据学生知识水平和思维能力的差异性，提供小坡度、多层次、密度适中的问题，以培养他们的创新思维能力，精心设计探究活动，把问题交给学生，让他们自主设计探究方案，培养创新实践能力。

课堂中的互动还有多个维度或多种形式，不管哪种形式的互动，它既可能是师生、生生思维的冲突，也可能是思维过程的相互补充，最终指向于达到共识、共享、共进的境界。通过课堂教学系统诸元的互动，学生开展自评与互评，自我认识、自我教育，肯定成绩、找出差距、总结经验、互相学习、共同提高，同时，学生的思维活动亦能促动教师即时形成高屋建瓴的教学智慧、极具生本的教学策略、以学定教的教学方法、螺旋上升的教学过程，最终实现教学相长。

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]人民教育出版社课程教材研究中心，中学数学课程教材研发中心.义务教育教科书数学七年级上册[M].北京：人民教育出版社，2012.

[3]李庾南.自学·议论·引导教学论[M].北京：人民教育出版社，2013.

[4]陆志强.引发“自我互动” 促进思维提升[J].福建中学数学，2016（8）：15-19.

[5]陆志强.在概念教学中促进学生学力的培养[J].数学教学通讯，2012（6）：4-6.

[6]陆志强.选择理论视域下的“互动”与“共生”[J].上海中学数学，2016（10）：1-8.

[7]陆志强.“互动·共生”——让课堂充满生命张力[J].教育艺术，2017（2）：49-50.

【备注】本文系基金项目：江苏省“十二五”规划课题——初中数学“互动·共生”课堂教学研究（E-c/2013/006），主持人：陆志强。

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陆志强，中学高级教师，南通市学科带头人，南通市第一梯队名师培养对象，南通市初中数学学科基地专家组副组长，南通市中考命题专家组成员，李庾南“自学·议论·引导”教学法研修推广专家组成员，主要从事初中数学教育教学研究。）