一道高考题的研究

江苏省海安县实验中学 潘新峰

一道高考题的研究

江苏省海安县实验中学 潘新峰

掌握数学就意味着善于解题。高考考场上遇到新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这样极有可能解不出来，或耗费大量的时间。2015届江苏考生普遍认为第18题难繁，其实本题只要方法得当，不失为一道不错的中档题。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，若PC= 2AB，求直线AB的方程。

下面给出第（2）问的解法与大家探讨。

分析思路1：直线AB的方程有两种设法，y=k（x-1）或x=my+1。弦长有两种求法，（这个在高考解题中要证明）。当然具体解题过程中也可以利用韦达定理，稍微简化一点运算。下面以江苏高考试卷给出的参考答案说明以上思路。

（2）设直线AB的方程y=k（x-1），当AB⊥x轴时，，又CP=3，不合题意。

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），，将AB的方程代入椭圆方程，得，则方程的解为，C的坐标为，且。此处还可以用，也可以直接。

若k=0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意。

分析思路2：江苏高考试卷命题组给出的参考答案思路可行，但方法不是最佳。要想快速解决本题，两条线段AB、PC的长度千万不能分开研究，在平面直角坐标中，两条线段平行或共线，则它们在同一条坐标轴上射影之比等于原线段长度之比；在平面直角坐标系中，如果两条线段互相垂直，那么它们分别在两个坐标轴上的射影之比等于原线段长度之比。这是两个简单的事实。

例题选讲：已知抛物线C1：的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：上。

（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；

（2）过点F的直线交抛物线C1于不同的两点A，B，交y轴于点N，已知，求的值；

在解析几何中，线段关系常有两种形式出现∶①AB=λ，②AB=λCD（其中λ为常数），第一种形式常用思路1，但运算量稍大。第二种形式，我们常常把线段或向量投影到坐标轴。由此可见，学生在平时的学习中，必须搞好“思路可行”与“方法最佳”的关系。