初中数学解题教学中的变式训练

张忠虎

摘要：素质教育是以培养具有创造性思维和创造能力的人才为目标而进行的创新教育。在初中数学解题教学中，进行变式训练，是指在数学教学过程中，对概念、性质、定理、公式和问题，从不同角度、不同层次、不同背景作出有效的变化，在形变而本质不变的过程中，引导其进行解题分析。它的应用和实践，对促进思维灵活发展，提高解题能力和学习能力具有重要的指导意义。为此，本文解读了初中数学解题教学中变式训练的意义、原则和有效策略。

关键词：初中数学;变式训练;解题教学

中图分类号：G633.6  文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）12-079

数学教学离不开解题，在解有限道题中，让学生领悟无限道解题的数学机制，是教学的重要任务。而变式训练在解题教学中的应用，是基于形式变、内容变、方法变为核心进行的教学优化，不仅训练学生的举一反三的学习能力，还可以培养良好的数学思维品质。为此，本文就初中数学解题教学中变式训练的意义、原则和有效实施策略进行了探究，旨在通过多元变式解题教学中，提高问题解题能力，培养良好数学思维。

一、初中数学解题教学中变式训练的意义

1.有利于促使学生形成良好思维品质

初中数学解题教学中的变式训练，相对比单一解题教学而言，它具有不确定性和发展性。它是基于事物不同表象进行的多维分析，在设计问题、解决问题的时候，教师会引导学生从多个角度和方向进行纵横比较，全面分析，不仅可以让学生了解各个事物之间的关联存在，还可以突破思维界限，培养创新思维和批判思维。可见，它在数学解题教学中的应用和落实，对学生数学思维的发展具有重要的培养价值。

2.有利于加深对数学知识的理解掌握

在传统的数学解题教学中，不论是解题教学的方法，还是解题的思路都比较单一、乏味，学生处于被动学习的状态，对于同一问题解题，基本上都是依靠死记硬背，照搬解题过程进行的解题分析，长此以往，不仅会影响解题积极性，还会降低解题效果。而解题教学中的变式训练，是基于概念、公式、定理、性质等各个知识内容进行的延伸、整合，是基于改变问题条件、改变解题方法但是不改变问题本质的基础上，进行的资源优化，在此过程中，不仅考查了学生对知识的灵活掌握，还可以检验学生的问题处理能力，使其在灵活使用知识思考问题的过程中，加深对数学知识的理解掌握，提高解题速度和解题能力。

二、初中数学解题教学中变式训练的原则

1.相关性原则

在初中数学解题教学中进行变式训练，要坚持相关性的原则，建立在与所学内容相关的基础上，通过资源延伸、整合，在创新问题的同时，促使学生能够灵活应用所学知识，在纵向、横向关联中，展现知识的灵活性，通过解题教学，培养学生良好数学思维品质，在变式训练中，使之形成系统思维，学会多角度分析问题、解决问题。

2.发散性原则

在初中数学解题教学中进行变式训练，其最根本目的是培养学生灵活的思维能力，促进思维发展，提高问题解决能力。为此，在进行变式训练的时候，要遵从发散性的原则，从一个或者几个点出发，多层次、多角度进行变换，通过改变问题条件、结论、解题策略等，打开解题思路，由常规题转为变式题，在多变训练中，促进思维发展，提高数学分析能力、解决问题能力。

三、初中数学解题教学中变式训练的策略

1.改变解题方法，打开思维空间

对初中数学解题教学而言，进行变式训练，解题方法的变式引导是关键，在此以外解题教学中，学生多是生搬硬套教师解题方法进行的解题分析，缺乏新意，导致思维受限。为此，在此次解题变式训练教学中，教师可以通过改变解题方法为辅助，在变式解题策略的过程中，激活思维空间，提高学生的解题能力，从而使其寻找最优解题方法，促使变式训练更加高效。例如，在教学解题这一数学问题的时候，如：

例题：如图，在△ABC中，D、F在AB上，AD=BF，过点D作DE//BC，交AC于E，过F作FG//BC交AC于点G，求证：BC=DE+FG。

在进行这一解题教学的时候，为渗透变式训练，可以从解题方法入手，通过多解思路的开阔，在变式解题的过程中，提高学生的解题能力，打开思维空间，如：

解法变式一：引导延长较短线段与较长线段相等。延长FG到H，使得FH等于BC，连接CH，根据作法，可以得到FH平行且等于BC，FBCH是平行四边形，从而得到CH=BF，随后将其放置于△ADE和△CHG中，通过求解三角形全等，根據DE=GH这一关键求解，继而得到答案。

解法变式二：在较长的线段上截取较短的线段。引导其从BC上截取BH=DE，不难得到△ADE≌△FBH，则可以知道∠ADE=∠ABC=∠ACB，同理可以在BC上截取BH=FG，再证明HC=DE，从而求解出答案。

解法变式三：利用梯形或者三角形中位线定理进行求解。通过求证三角形底边BC等于梯形DFGE两底之和，可以猜想通过梯形DFGE的中位线沟通两者之间的关系，从而求解答案。

解法变式四：利用相似三角形的性质和比例性质。通过证明边是相似三角形的对应边，因此可以从相似三角形的对应边成比例和比例的基本性质入手证明，从而求解答案。

综合以上来看，主要是从解题方法入手，在变式解题训练中，对一题进行的证明推导，不仅可以激活思维，还可以为多角度、多层次变式问题分析奠定坚实的基础条件，使其能够灵活运用所学知识解析数学问题，提高问题解决能力。

2.改变解题内容，促进思维发展

在初中数学解题教学中进行变式训练，解题的内容是分析解题思路的关键，同时也是检验学生数学知识掌握情况的重要前提。为此，为促进思维发展，提高学生对某一数学知识内容的全面掌握，教师可以以解题内容为核心进行变式训练，在多变内容、不变问题本质的基础上，检验学生对知识的灵活应用能力，提高解题教学的育人效果。例如，在解题教学《勾股定理的应用》数学内容时，会涉及到应用方程思想解析勾股定理问题，在学习的时候，可以以方程思想为核心，在变换问题内容的同时，提高对这一知识点的掌握，如：

例题：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形，若CD=2，BD=6，求△ABC的面积。

在求解此问题的时候，可以根据题意得出AC+CD+AD=AD+BD+AB，得出AC=AB+4，然后通过设AB=x，则AC=4+x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解得AB=6，最后由三角形面积公式既可以得到答案。此题主要考查了学生对勾股定理以及三角形面积等知识的掌握，旨在让学生学会运用构建方程的思想进行问题解题。

变式1：如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，CD是AB边上的高，求线段AD的长。

在解析此题的时候，只要设AD=x，根据CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，构建方程既可以解决问题，如：

∵CD⊥AB，∴∠D=90°，

∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2

∴82-（5+x）2=52-x2

∴x=75

∴AD=75

此题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识，主要让学生利用参数构建方程进行问题解析。

变式2：已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2-AE2=AC2，求：

（1）求∠A的度数;

（2）若DE=3，BD=4，求AE的长。

对于问题（1）只要连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理逆定理可以求解∠A的度数;而问题（2）的解析，需要学生通过设AE=x，则AC可以用含x的式子表示，随后将其放置于Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE的值。此题所考查的主要内容有勾股定理以及逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度以及借助勾股定理构造方程解决问题。

综合以上解题来看，可以看出在解题教学过程中，主要是以勾股定理应用方程思想进行解题为主要方向，在变式训练中融合了等腰三角形的性质、勾股定理逆定理等知识要点，是基于改变解题内容而不改变解题核心方向为基础进行的教学引导，不仅可以促进学生对数学知识的掌握，使其认识数学各个知识点之间的关联性，还可以提高问题解决能力，促进思维灵活发展。

3.改变解题题型，提升思维高度

知识是静态的，但是思维是活跃的，在初中数学解题教学中，习题是固定的，但是它的变化是无穷的。为此，在教学的时候，教师可以通过改变题型，综合证明题、选择题、动静结合题等多种题型为辅助，在多变的过程中，多题归一，提升思维的高度，激发探索学习兴趣，培养创新精神。例如，在教学解析这一数学几何问题的时候：

例题：已知，如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，求证：EC=DF。

在解析此题的时候，可以让学生通过做辅助线的形式进行问题求解，过点O作OM⊥CD，垂足为M，连接OC、OD，则CM=MD，然后根据AE⊥CD，BF⊥CD，得到AE//OM//BF，∵OA=OB，∴得到EM=FM，得到EM-CM=MF-MD，即EC=DF。

在此基础上，为提高解题能力，让学生学会解此类题，可以通过改变题型、图形促进其进行深度探索，如：

变式一：已知，如上图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的结论：1、EC=DF;2、DE=CF;3、AE=GF;4、AE+BF=AB中，正确的有（ ）

A.1、4  B.2、3、4  C.1、2、3  D.1、2、3、4

变式二：把直线EF动起来，在运动变化的过程中，让学生猜想并推断原有的结论是否仍然成立，在原来封闭试题的基础上演变为动态结合探索题型，引导其思考以下问题：

（1）如图，AB是⊙O的直径，直线L与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作L的垂线，垂足为E、F，则EC=CF。

（2）上题中，当直线L向上平行移动的时候，与⊙O两个交点C1、C2，其他条件不变，如图，经过推证，我们会得到与原题相应的结论EC1=FC2;

（3）把L继续向上平行移动，使得弦C1C2与AB交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情形下，请你在圆中将其变化后的图形画出来，标号对应的字母，并写出与（1）（2）相应的结论等式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由;若成立给予证明，结论：   。

根据此题可以发現，变式一和变式二是基于原题进行的拓展延伸，虽然变式一是选择题，但是在推导结论的时候，需要学生对各个结论进行推理分析，所考查的内容和知识点更加全面，而在变式二中更是对此题的升华，是由静态知识转为动态进行的变式训练，在解析此题的时候，需要学生从运动的视角进行证明，过O做OM⊥C1C2，则AE//OM//BF，然后根据平行截割定理，得到EM=MF，由垂直弦的半径平分弦这一知识最后得到结论，对于问题（3）的解析要让学生明白一个道理，平行移动某条直线时，有些几何关系是保持不变的，然后根据切线的性质、切割线的定理等知识点进行问题求解。

通过改变解题题型，在变式训练的过程中，促使其能够多视角、多层次、多维度思考问题、分析问题，从而提升数学思维的高度，提高变式训练的教学质量。

综上所述，初中数学解题教学中的变式训练，对培养学生灵活的思维能力，提高问题解决能力具有重要的意义。为此，在教学的时候，教师要重视变式训练，认识其教学的意义，根据其对应原则，在改变解题方法、改变解题内容、改变解题题型的过程中，加深对数学知识的理解和掌握，提高解题效率和解题质量。

参考文献：

[1]唐雪霞.初中数学解题教学中的变式训练[J].数学大世界（上旬），2020（9）：71.

[2]茅亚敏.举一反三，激活学生思维[J].新课程导学，2020（27）：81-82.

[3]孙连杰.例谈初中数学教学中的变式训练[J].中学生数理化（教与学），2020（8）：94.

（作者单位：湖北省秭归县文化初级中学，湖北 秭归 443622）