几何概念的创意教学

范韦莉

摘要：几何概念是小学阶段数学学习的重点，也是难点，需要学生有较强的逻辑思维。几何概念对学生未来数学学习有着巨大影响。教师在教学中，应不断创新教学的方法，围绕几何概念的本质，精心设计和组织学生进行探究活动。本文以“认识三角形的高”一节为例，从概念引入、概念形成、概念完善三个方面对几何概念的创意教学进行了初步探索。

关键词：几何概念;创意教学;已有经验;正确表象;认知理解

中图分类号：G623.5文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）19-087-2

几何概念是从数学研究对象的众多属性中抽象出的本质属性，经高度概括而成。几何概念教学对培养学生的抽象、概括、模型思想有着重要的作用，学好几何概念，是学生进一步认识复杂几何图形的基础。因此，教师在几何概念教学中，应尊重学生的年龄特点，把握学生的认知水平，以富有创意的教法引领课堂。笔者以苏教版数学四年级下册“认识三角形的高”为例，探究如何实施创意教学，以促使学生对几何概念更好地理解。

追问一：概念引入时，如何挖掘学生有关“高”的已有经验？

学生已有的数学知识和经验，是其进一步学习数学知识的基础。教材在引入三角形的高时，以人字梁为载体，引导学生观察人字梁，再量出人字梁的高度，过程中突出了测量高的方法，以及所量的线段与横梁所在线段的关系。这样的环节，有一些商榷之处。人字梁这样的素材固然直观形象，能够激活学生头脑中关于物体高度的生活经验，但由于生活中学生见到的物体的高都是垂直于地面的，“直上直下”这一非本质属性往往被学生迁移到认识三角形高的过程中，这必然在一定程度上影响正确概念的建立。那么该如何挖掘学生的已有经验，让新知自然生长？我对教学做了以下调整。

完成例1试一试（图1）的教学后。

师：刚才我们得到了三角形的三个顶点不能在同一条直线上，如果移动其中的一个点，能不能构成一个三角形？

生：当然可以。

师：以中间C点为例，准备往哪移动，这个三角形会是什么样？

请学生上台指出想象中的三角形。

师：还可以往哪，脑子里又浮现了哪个三角形？

自己比划出这个三角形。

师：移动一个点，可以形成多少个三角形？

生1：无数个，往上、下、左、右都可以移动。

生2：只要移动中间这个点，随便往哪里移动都可以形成一个三角形。

师：老师从你们想象中的三角形中挑出两个（见图2），仔细观察，它们有什么不一样？

生1：形状不同，大小也不一样。

生2：角度和高度也不一样。

……

教师在研读教材时，要认清教材特点，在基于学生心理特征和认知规律的基础上可以对教材中的内容进行创造性处理。上述导入环节，教师并未用人字梁引入三角形的高，而是在试一试教学后，指着在同一条直线上的3个点顺势提问：“移动其中的一个点，能不能构成一个三角形？”“想象一下这个三角形是什么样？”“还可以往哪移动？”学生通过想象、比划得知这样的三角形有无数个，移动点的位置不同，三角形的形状、大小、高度都会有所不同。这样引发学生自然而然关注三角形高的创意教学，不仅降低了学习几何概念的难度，而且加强了学生的空间观念，为学生深入学习几何概念做好鋪垫。

追问二：概念形成时，如何建立学生对“高”的正确表象？

几何概念的抽象性决定了学习者对新概念的建构不是一蹴而就，应该遵循感知—表象—抽象的认识规律，经历逐步抽象的过程，并引发学生认知结构实现一种渐进式的转换和提升。教材中对于三角形高是这样表述的：“从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。”这段文字既描述了高的位置，又描述了画高的方法，学生理解起来难度颇大。所以，教学中必须增加体验三角形高的活动环节，以此促进学生对概念本质属性的理解。如何帮助学生体验和理解三角形的高，让探索过程创意推进，是我备课时着重思考的问题。

师：你们刚才提到了高度，三角形的高到底指的是什么呢？（学生跃跃欲试举手）别急，这两个三角形已经印在了学习单上，把你心中的高用线表示出来。

汇报交流。

生1：我把右边的边描了一下（如图3），我认为它们能代表这两个三角形的高，这条边的长度越长，它就越高。

生2：我不同意。老师，我可以上来画一画吗？

这位学生自信地在黑板上画出这样两个图形（如图4）。

生2：你们看，第二个三角形右边的长度明显比第一个长，但却是第一个三角形更高啊！

师：（问生1）你接受他的建议吗？

第一位同学害羞的点点头。

师：还有别的画法吗？

生3：老师，我是从做最上面一个点往下面做了一条垂线（如图5），这两条垂线可以代表三角形的高。

师：我明白了，你是从最上面的顶点出发，到底边做了一条垂直线段对吗？

教师环视了教室，发现大部分孩子都是这样画的。

生4：我有补充，我和他的画法一样，但我多了一个直角符号。

师：怎么想到加直角符号的？

生4：我们曾经画过点到直线的距离，当时画的就是垂直线段，是要加直角符号的。

师：看来你们对三角形的高已经有了自己的感觉，确实，我们可以从最上面这个顶点出发（指着学生的作品），到它对面的这条边，也就是它的对边，作一条垂直线段表示出三角形的高。

学生建构几何概念的过程，绝不能是教师简单“告诉”的过程，更不能贪图“一步到位”。上述片断中教师并不急于给出概念定义，而是先让学生把心中的高画出来。此时学生对高的认识是模糊的，画出的高有斜的，有垂直的，甚至是斜着的那条边，但这就是学生真实的状态。接下来的课堂教学便是围绕学生的作品展开思考、交流，教师只在学生学习受阻时适当地点拨、启发。在这样开放、真实的过程中，学生的思维在碰撞、在辨析、在交流、在提升，对高的表象的建立也是主动的，对高的内涵的理解也在逐步加深。这样一种通过学习共同体的研讨，且伴随着自我意识的独立学习，并能逐步形成具有优化风格的数学学习，正是教师实施创意教学后所达到的样态。

追问三：完善概念时，如何提升学生对“高”的认知理解？

在学生初步理解几何概念后，教师应采取有效的方法或策略，通过有创意的设计，以培养学生的创造力、思维能力为目标实施课堂教学。在揭示三角形高的概念后，大多数教师都会设计辨一辨、量一量、找一找、画一画等大量的层层递进的变式练习，力求及时巩固学生对几何概念的认识。这些环节中教学的关注点仍在显性的目标达成上，学生踩着小碎步在教师的指引下被动地接受，毫无创意可言。那么如何在三角形高的认识上更深入、更水到渠成？笔者在对几何概念完善部分做了如下教学尝试。

师：还想画高吗？

生：（异口同声）想。

师：拿出课前剪好的三角形，自己画一画并量一量它的高。

尝试作高时，有个别孩子高高地举起了小手，悄悄在老师耳边说出了自己的疑问：老师，这个三角形可以动，你到底让我画哪条高啊？教师会心一笑：待会你就知道了。

交流汇报。

生1：我的高是6厘米，它的对边是2厘米。

生2：我的高是2.4厘米，它的对边是5厘米。

生3：我的高是3厘米，它的对边是4厘米。

师：我们得到了3条不同长度的高，看来你们的三角形都不一样。

接着，教师请学生将3个三角形比一比，结果却发现这3个不同高的三角形一模一样。

师：形状、大小完全相同，为什么会出现3条不同的高呢？

这时那个刚开始就有疑问的孩子又举手了。

生：老师，刚才我就问你，您到底让我们画哪条高。三角形有3个顶点，从这3个点出发，都可以到它的对面的那条边作高呀，当然就会有不同的高。

还没等教师开口，大家恍然大悟且情不自禁地为他鼓起掌来。教师适时把这3个有不同高的三角形擺放好，再次引导学生观察，师生共同得到：原来一个三角形可以画出3条高。

请学生用自己的语言描述这3条高是怎样画出来的。

师：通过刚才两次尝试画高，你对三角形的高有了哪些新的认识？

生1：画高得找到那个顶点的对边才行。

生2：第一次画高时我以为只能从最上面的那个点画，原来从三个顶点出发都可以画高，三角形有三个顶点，所以可以画出3条不同的高。

生3：画高必须是垂直线段，标直角符号。

师：根据刚才的经验同学们对画高都有了自己的理解，数学书上是怎么描述的呢，我们一起看一看。

……

教师应为学生设计直指概念本质的学习活动，让学生通过独立思考、质疑反思，获得数学学习的成功体验，培养创新意识。上述教学，没有直指知识本身，而是再次设计了让学生在活动三角形上画高的环节，如果说第一次尝试画高，学生对于三角形高的认识是茫然的，完全凭着感觉画，那么第二次尝试画高时学生已经有了一些感性经验，能够带着一些思考画高。学生从画出一条高到发现三角形有三条高，课堂中充满了创意的活力。可见，学生在教师创意教学的引领下，经历深入观察、细致比较和深入说理等活动，从而实现了对几何概念的模型建构。

总之，我们力求呈现直面几何概念核心本质的创意课堂，无论是对学情的把握，还是教学素材的选择、教学层次的安排、教学效果的体现，每个环节都力求实效与创意，以此帮助学生循序渐进地经历思维认知的不同层级，促进学生的内在感知不断走向对概念的深度理解。

（作者单位：南京致远外国语小学，江苏 南京210000）