挖掘一道课本习题的教学价值

陆建根

摘要：课本例题、习题既是如何运用知识解题的经典，也是思维训练的范例。教师要加强对课本例题习题的研究，通过对一道例题多角度、全方位的探究，可以加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握，让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的水平，而且对开发学生智力，培养学生良好的思维品质，提升学生的核心素养具有重大意义。

关键词：例题习题;研究;一题多解

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）19-108-1

教材的例题习题都是很典型的，是经过专家精选的，具有一定的代表性，课本例题习题的教学相当的重要。而要搞好例题习题教学的前提是，教师必须进行深入的研究，要熟悉例题习题的编写意图和例题习题的来龙去脉。

就一道例题，对解题方法进行深入挖掘和研究，做到一题多解，可以培养学生思维的开阔性和灵活性。同一个题目从不同的角度去分析研究，可以得到不同的启迪。

苏教版必修五第2章《数列》复习题第11题为：

在等差数列{an}中，已知Sp=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值。

同学们如果能从多方位去探求各种不同的解法，不仅能系统梳理、复习等差数列的有关的基础知识，而且对等差数列的内在的本质的属性会有更深刻的认识。

为便于全面的挖掘本题的教学价值，我们先把问题特殊化，先考虑下列问题：

在等差数列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110的值。

设等差数列{an}的公差为d，前项和为Sn。

解法1：由S10=100，S100=10得

∴10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2）

解得a1=1099100，d=-1150。所以S110=110a1+110×1092d=-110

注：该解法思路自然，是一种常规解法，但运算量较大。

解法2：数列S10，S20-S10，S30-S20，…，S60-S50，…，S100-S90，S110-S100（*）成等差数列，设公差为D，该数列前10项和为10S10+10×92D=S100=10，∴D=-22，

该数列第11项为S110-S100=S10+（11-1）（-22）=-120，∴S110=-110。

注：该解法运用了等差数列的性質：等差数列的依次每k项之和仍成等差数列。

解法3：数列（*）的前10项和为S100=10，而S10=100，

所以等差数列S20-S10，S30-S20，…，S60-S50，…，S100-S90的所有9项之和为-90。

即-90=9（S60-S50），∴S60-S50=-10，

∴S110=S10+（S20-S10）+…+（S110-S100）=11（S60-S50）=11×（-10）=-110。

注：该解法运用了性质：S2n-1=（2n-1）an。

解法4：由于{an}为等差数列的充要条件为其前项和Sn=An2+Bn，

将S10=100，S100=10代入可得A=-11100，B=-11110，

∴Sn=-11100n2+11110n，∴S110=-110。

注：该解法注意到等差数列前n项和的公式的结构特征，Sn=An2+Bn。

解法5：∵Sn=na1+n（n-1）2d，∴Snn=a1+（n-1）d2，

∴（n，Snn）是直线y=（x-1）d2+a1上的一串点，

显然（10，10），（100，110），（110，S110110）共线，∴S110=-110。

注：由Snn=a1+（n-1）d2联想到直线方程，数形结合，解法简洁快捷。

解法6：由S110=110a1+110×1092d=110（a1+1092d）。

∴10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2），

由（2）-（1）得a1+1092d=-1，

上述等式两边同乘以110得S110=-110。

注：整体代换可以极大地减少运算量。

再回到原问题，从上述解法可以知道，用解法1、2、4、5、6都可以解决该题，下面我们用解法6来求解。

由Sp=q，Sq=p，得pa1+p×（p-1）2d=q，（3）qa1+q×（q-1）2d=p，（4）

（3）-（4）整理得a1+p+q-12d=-1，

两边同乘以p+q得（p+q）a1+（p+q）（p+q-1）2=-（p+q），

即Sp+q=-（p+q）。

数学解题教学，题不在多，贵在精，贵在教师研究深。课本例题、习题既是如何运用知识解题的经典，也是思维训练的范本，因此，教师要加强对课本例题习题的研究，而且通过教师长期的示范引领，慢慢地让学生也养成对课本例题习题进行琢磨、研究的习惯。这样做不仅能加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握，让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的水平，而且对开发学生智力，培养学生良好的思维品质，提升学生的核心素养亦有好处。

（作者单位：江苏省镇江中学，江苏 镇江212000）