生本化课堂建构下函数等量替换思想的教学思考

王东

摘要：等量替换思想能够帮助学生更好地掌握数学知识与方法，并获得语言与推理能力的长足发展。教师应充分理解掌握这一思想方法的重要性，并积极钻研多种方式以帮助学生对这种数学思想方法产生更多的领悟与感受。

关键词：等量替换;意义;措施

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）19-109-2

等量替换思想在初中数学函数中的应用对于学生的思维能力来说是一种挑战。这部分知识虽然较难掌握，但一旦掌握这一基础思想，往往能使解题更加方便，因此，教师在具体的教学中应充分理解这一思想方法的重要性与价值。

一、何谓等量替换思想

学生从小学阶段就开始接触等量替换这一思想方法，这一思想方法的应用比较广泛，物理、化学等其他自然学科的学习中也有等量替换思想的应用。将一个量用与之相等的量代替即为初中函数学习中经常会应用的等量替换思想。利用等式的传递性进行替换是最为狭隘且直白的表现，比如，如果a=b，b=c，则就有a=c。而在狭义等量替换的基础上进行扩展与延伸即为广义上的等量替换，这一拓展与延伸的应用是相当广泛的。

二、等量替换教学的意义

1.帮助学生更好地掌握知识

学生在等量替换方式的应用中能够更好地掌握等量替换的思想以及问题中所涉及的知识。

2.培养学生的语言和推理能力

能够运用于多门课程的等量替换思想在函数知识理解与解题中的应用能够更好地发展学生的思维，学生在借助图文理顺题中各关系的过程中能够更好地进行推理与解题。

3.培养学生的情感

学生熟练运用等量替换思想全面、有序地思考与解决问题中能够增强与同学之间的沟通与情感交流，合作学习下的切磋也会令学生对数学学习产生更加浓厚的感情。

三、培养措施

1.一次函数中的等量替换

如何确定函数的表达式是初中数学中一次函数知识的重难点。一般来说，首先应设解析式：y=kx+b，接着利用已知坐标点代入解析式并求得待定常数k、b的值并最终得出解析式。

例1：已知某直线经过点（-1，0）、（0，3），则该直线解析式如何？

解析：首先，设解析式为y=kx+b，然后根据已知条件将点（-1，0）、（0，3）分别代入解析式中得出：k-b=0，b=3。利用等量替换或移项即可得出k=3，将k代入所设解析式即得：y=3x+3。

此类题目在初中函数知识的题目中是比较简单的，解析式与坐标系图像在函数的这一部分知识点中都是可以代表函数的，上述步骤在根据图像确定解析式的过程中是一样适用的。

2.二次函数的等量替换

二次函数和一次函数相比较而言在难度上增大了许多，作为教学重难点的二次函数知识一般在中考试题中都会以压轴题的形式出现，学生往往在此类题目的解决中表现得不尽如人意。

例2：已知某一次函数的图像和y轴相交于点（0，-1），同抛物线y=x2+bx+c顶点与点（2，5）相交，求该函数解析式和常数b、c的值。

解析：如何求出该抛物线的顶点坐标是这一题目的一个难点，对于一般式y=ax2+bx+c，（a≠0），其顶点坐标不难知道，即（-b2a，4ac-b24a），利用等量替换思想并结合配方法将一般式变形即可求得该抛物线的顶点坐标。如下y=ax2+bx+c=a（x+b2a）2+4ac-b24a，求得顶点坐标后解题也就容易了许多。将一次函数的解析式设为y=kx+n，根据题意并将已知点的坐标点等量代换即可求得2k+n=5，n=-1，等量代入可得k=3，n=-1，则解析式为y=3x-1。对于b、c值的求解，根据题意以及上述分析可得顶点坐标是（-b2，4c-b24），将顶点坐标与点（2，5）分别代入一次函数和抛物线解析式可得：4c-b24=3×-b2-1，4+2b+c=5，b、c两值即可求得。

3.三角函数的等量替换

（1）“角”的替换

三角函数中的相应角度替换是初中三角变化解题中常见的。函数运算过程中的名称、符号、次数等在三角函数角度替换的过程中也会随之发生相应的变化。

例3：在△ABC中，∠BAC=90°，M为线段AC的中点，且AG⊥BM，垂足是G，BG=2GM。（1）证明BC=3AG;（2）设AB=6，则BM的长度应为多少？

解：（1）因为AG⊥BM于点G，且∠BAC=90°，所以∠AGB=90°，所以∠AGM=90°，所以∠ABG+∠BAG=90°，所以∠GAM+∠GMA=90°，所以∠BAG+∠GAM=90°，所以∠ABG=∠GAM（等量替换的应用），tan∠ABG=tan∠GAM（等量替换的应用）。设AG=x，BG=2GM=2a，AG∶BG=MG∶AG（等量替换的应用），x∶2a=a∶x，x2=2a2，x1=2a，x2=-2a（负数舍去）。AB=6a（由勾股定理得），AM=3a（勾股定理），BC=32a（勾股定理），所以BC=3AG。

（2）由（1）可得当AB=6时，a=1，所以BM=BG+MG=3a=3。

三角函数的很多问题解决中都会有一些相异的角存在于表达式中，因此，在此类问题的解决中应根据题目的实际情况理顺三角角度间和、差、倍、半、补、余之间的关系，在已知角替换未知角之后再进行具体的运算并使问题顺利得解。

（2）“形”的替换

根据题中所给的具体需求并将常数1转化成三角函数是三角函数化简、证明以及求值运算中经常会运用的首要步骤，然后再利用三角函数公式进行具体运算并获得最终求解。利用常数1对三角函数进行替换与运算在此类题目的求解中是最为常见的。三角形中的恒等式是初中三角函数中“形”替换最为主要的表现形式，具体表现在sin2x+cos2x=1，是恒成立的。

4.教学注意事项

（1）歸纳指导思维方法

教师在函数等量替换的教学中应引导学生根据思维方式进行总结和归纳，对问题建构的同时总结解题的思维方式。教师在具体问题的解题教学中应及时构建问题模型并将等量替换这一抽象的数学思维转成实践以促进学生顺利解题。

（2）激发学生探索

教师在等量替换的教学中应善于运用常识或故事来激发学生的探索，使学生深刻领会等量替换的巧妙。

（3）根据需要编排教材

教师在平时的教学中应随时关注学生的实际情况并进行充分的考量;关注学生整体的接受能力、知识的先后、教学程序的设立等等内容，不仅如此，教师还应考虑到理论学习的枯燥与无趣，因此，在实际教学中，教师可以根据需要对教材进行重新编排以促使学生在简单问题中逐步展开探索，在理论逐渐深入的过程中，将现实的具体问题得到转化并达成深入学习。

培养学生灵活应用等量替换思想解题是初中数学教学的一项重要内容。事实上，中学生接触等量替换思想只是其数学学习的一个开端，因此，教师应充分意识到掌握这一思想方法的重要性并积极钻研多种方式以帮助学生对数学思想方法产生更多的领悟与感受，这对于学生的终身学习与生活来说都是极有意义的。

（作者单位：苏州市吴江区青云中学，江苏 苏州215000）