简述波利亚数学原则在教学中的应用

王小兰

摘要：波利亚是数学教育发展史上一颗璀璨的明珠，他对数学思维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。本文阐述了波利亚数学学习的三条原则，即主动性原则、最佳动机原则和阶段序进原则。

关键词：波利亚;数学;原则

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）19-110-2

波利亚的解题理论强调的是数学思维的教学，他把解题作为一种手段，通过怎样解题的教学，启迪学生的数学思维，以培养学生分析和解决问题能力。本文阐述了波利亚数学学习的三条原则：主动性原则、最佳动机原则和阶段序进原则。

一、主动学习原则

波利亚认识到在教与学这一矛盾体中，学是矛盾的主要方面，学生是学习的主体。只有充分调动其主观能动性，才能取得良好的学习效果。波利亚确信，“学习任何东西的最佳途径是靠自己去发现”。因为发现使理解最为深刻，容易把握事物间的本质特征和内在联系，也能使学生尝到成功的喜悦。为此，他引用了18世纪德国物理学家利希腾伯格（G·Lichtenberg）的一段话来充分说明这一点，“那些曾使你不得不亲自动手找到的东西，会在你的脑海里留下一条途径，一旦有所需要，你就可以重新运用它”。比如，在七年级下册讲解《有理数的乘方》新课时，教师可以用“印度国王奖赏象棋发明家的故事”为素材引入，从而发现规律，尝试“以此类推第五个、第六个格子中应放多少粒麦子”，再列出计算第64个格子中麦粒数的算式，以此来引入新课，增加了趣味性，满足了好奇心，立竿见影，使学生注意力集中，从而使学生在观察思考、尝试、列式中，感受到有学习新知的必要，继而形成稳定的学习兴趣和强烈的求知欲望，并依据问题与故事中麦粒放置规律，引发联想，使学生思维迅速活跃了起来，使学生的全部心理活动参与到了这节课的学习中来。

二、最佳动机原则

最佳动机原则是学生在学习、探索这种强烈心智活动中找到乐趣的心理状态。波利亚认为，导致学习最佳动机的是使学生感兴趣的学习材料，是教学内容本身的内在魅力。因而，教师在教学中的责任应该是使学生相信数学是有趣的，所讨论的问题是有价值的，鼓励学生在解题前猜测结果、预示方法等等，使学生在这一系列活动中体会其乐趣所在。比如，在八年级上册一次函数中有这样一个问题：我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过6吨时，水价为每吨2元;超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费。该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元。

（1）若0

（2）若x>6，请写出y与x之间的函数关系式。

（3）在同一平面直角坐标系中，画出以上两个函数的图象。

（4）如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？

这个问题，不仅让学生学会了分段函数表达式的求解方法，分段函数的图象的画法，还学会了实际问题的解决方法，培养了学生节约用水的环保意识，从而体现我们所学习的数学是有价值的。另外，学习中还有些次佳的动机，如学习好可以在学校里成为同学学习的榜样，在社会上取得令人羡慕的地位和良好的生活待遇，会给家长赢得地位和荣誉，不学习会带来惩罚，等等。在教学中，教师应尽力促使学生形成最佳动机，使学生保持旺盛的学习劲头，积极自觉地投入到学习活动中去。相信只要适时给学生创造最佳动机，学生会更乐意学数学，更能体会学习数学的乐趣。

三、阶段序进原则

波利亚详细分析了人类学习的全过程，提出了学习过程的三阶段，即探索阶段、形式化阶段和同化阶段。探索阶段是对事物的观察和了解，是行动和感觉，处于一种比较直观和启发式的水平上;形式化阶段是对接触的事物进行了分类整理，引入适当的定义、术语、证明等，并认识了其中的规律性，认识上升到了一个较为概念化水平上;同化阶段有一种洞察事物“内部境界”的尝试，学生把所学材料消化吸收到自己认知结构和整个精神世界中去，事物的规律性在更广泛的范围内被认识、推广和应用。比如，在八年级下册分式这一章的教学过程中，教师引导学生进行了探索、形式化和同化等三个阶段的学习。

（一）探索阶段

1.了解分式的概念：形如AB（B中含有字母）的式子，这点要学会判断一个式子是否是分式

例1.下列各代数式中，哪些是分式？

（1）xπ+1（2）2ba（3）x23（4）3x2-12x（5）a+2b

2.理解分式的意义，会判断分式什么时候有意义，什么时候值为零，会根据已知条件求分式的值

例2.当x取何值时，下列分式有意义？何时值为0？

（1）x-22x-3（2）x+22x2+1（3）x2-4x+2（4）|x|-5x2+4x-5

（二）形式化阶段

1.了解分式的基本性质：（1）AB=ACBC（C为不等于0的整式）

（2）AB=A÷CB÷C（C为不等于0的整式）

2.了解最简分式的概念，理解并应用分式的基本性质进行分式的约分，通分：

（1）约分关键是找分子分母的最大公因式：

①系数：找分子分母系数的最大公因数

②字母：找分子分母公共的字母

③字母指数：找各字母的最低次幂

例3.约分（1）9a2b32a2b（2）x2+2x-3x2-2x+1

（2）通分关键是找最简公分母：

①系数：找各分母系数的最小公倍数

②字母：找各分母中所有的字母

③字母指数：找各字母的最高次幂

例4.求下列分式的最简公分母：

（1）a2b，b3a2，c4ab;

（2）1x，1x+1，1x-1，1x2-1，1x2+2x+1;

（三）同化阶段

1.分式的运算：

（1）分式的加减运算

例5.计算①4a-2-a-2②5m2-9-13-m

（2）分式的乘除运算

例6.计算①x2+3x4x2-1·2x-1x+3②x-2x+3÷x2-43x+9

（3）分式的混合运算

例7.计算（4a-2-a-2）÷a2-8a

2.分式方程的求解及其应用

（1）分式方程的解法

例8.①1x-2=1-x2-x-3②x1-x+1=x+2x2-x

（2）分式方程的應用

例9.甲做160个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相同，已知每小时甲、乙两人共做了35个零件，那么每小时甲、乙各做了多少个零件？

例10.若关于x的分式方程6x-1=x+kx（x-1）-3x有解，求k的取值范围。

在这一章节的学习中，通过探索阶段对分式概念的了解，学会判断分式什么时候有意义，什么时候值为零，会根据已知条件求分式的值;形式化阶段对分式基本性质，最简分式的概念的了解，理解并应用分式的基本性质进行分式的约分，通分;同化阶段是对前两阶段知识的运用，学会分式的加减乘除及其混合运算，学会分式方程的求解及其应用。波利亚认为学习过程应该遵循这一发展模式，缺少任何一个阶段都会使所获得的知识不全面。他制定的解题表中的第一、第二部分属于探索阶段;第三部分是形式化阶段，第四部分为同化阶段。为此，他建议教师多给学生介绍一些带有挑战性的题目，一些有丰富历史背景并值得探索的问题，一些能从中品味到科学家工作的问题。

总之，在波利亚数学思想的指导下，只要教师和学生都积极地遵循学习数学主动性，最佳动机，阶段序进这三条原则，相信学习数学将会变成一件快乐的事情。

（作者单位：苏州市相城区北桥中学，江苏 苏州215000）