规范与探究并行，着力提升运算能力

周冬波

摘要：笔者通过一道习题展开多种运算引发思考，提出了提高学生实际运算能力的方法。

关键词：数学;运算能力;提高

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2016）04-081-1

一、问题的提出

在学习了椭圆的离心率后，布置学生做了这样一道习题：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），其右焦点F关于直线y=bcx的对称点仍然落在椭圆上，求椭圆的离心率。

二、问题的探究

探究1：思路的确定

不少同学能立即提供本题的思路：先算出右焦点F关于直线y=bcx的对称点的坐标;其次将所得对称点的坐标代入椭圆方程，整理得到a，b，c的齐次等式，最后得到e的方程，解之得到解。

探究2：具体运算

8分钟后，只有个别同学算出结果。很多同学一筹莫展，无法将运算进行下去。我决定让学生分步交流运算历程：

第一步求对称点的坐标

运算一（1）：设过右焦点F且与直线y=bcx垂直的直线为y=-cb（x-c），将y=bcx，y=-cb（x-c）联立得交点坐标为（c3a2，bc2a2），由中点坐标公式得对称点坐标为（2c3-ca2a2，2bc2a2）。

运算一（2）：设对称点坐标为（x，y），根据对称性得yx-c·bc=-1

y2=bc·x+c2，解方程组得（2c3-ca2a2，2bc2a2）。

两种思路的比较：思路一将点关于直线的对称点转化为点关于点的对称点，通过解一组二元一次方程组得以实现，解法自然简捷;思路二是解析几何的基本方法待定系数法的具体表现，同样通过解一组二元一次方程组得以实现，解法也不错，体现了大多数学生的运算基本功。

第二步将所得对称点的坐标代入椭圆方程，整理得到a，b，c的齐次等式。

第三步解e的方程

运算：由4c6+c2a4=a6两边同除a6得4e6+e2=1，将e2=t得4t3+t=1，通过观察得t=12为4t3+t=1的一个根，从而4t3+t-1=（t-12）（4t2+4t+5）=0，进一步得4t3+t=1的根为12，从而e=22。

这一运算因为所得方程次数较高，使得不少学生不能顺利运算，需要学生利用换元降次，观察出特殊根因式分解降次等运算技巧。

探究3：思路的再分析

在经历三个步骤的运算后，不少学生开始自我演算，但这种比较繁琐的运算让平时数学基础较好的同学有些意犹未见，产生了寻求其他做法的思考。有同学提醒本题中有个特殊焦点，能否结合焦点具备的几何关系来解决呢，这启发了大多数同学开始积极的尝试。几分钟后，有学生提供了解法。

三、几点认识

1.提升认识，以解几为契机，培养学生的运算能力。在高考中，几乎所有的题目都需要运算，高考对运算能力的要求可以归纳为：会根据法则、公式进行数、式、方程的正确变形、运算，能根据问题的条件，寻求设计合理、简捷的运算途径。因此，运算能力不仅仅是一种操作实践能力，更重要的是一种容观察、判断、联想、探究于一体的思维能力。

2.科学设计运算程序，分步解答，引导学生形成和应用规范的解题思路，让运算更准确，更熟练。影响运算准确的因素是多方面的，只要在运算全过程的某一个环节出现问题，就会导致整个运算的错误。在高考中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。绝大多数学生的解题运算往往是零散的、随意的，没有形成程序性和规范性，这导致很多学生该算对的、能算对的算不对。这就要求教师要让学生明确什么是规范的解题运算并在实践中不断予以正确的示范以及对不规范的纠正。在习题教学中，很多教师一般采用如下程序教学：学生回报各自的思路，教师选择具有代表性的思路，组织学生讨论研究所提供思路的正误和优劣，让学生再次提出新的解题思路，最后总结出所有思路的共性内容和个性特点。而实际情况是有不少学生拥有解题思路但具体落实的时候因为运算的不准确、不熟练、不规范，同样无法完成一道题目，这就要求教师在解题教学中不仅要关注思路的构建，整体解法的设计，还要更多地关注运算过程，尤其是常规运算的反复训练。

3.积累技巧，在探究中激发学生的运算潜能，让运算更合理、更简捷。较复杂的运算，往往是由多个较简单的运算组合而成的，从而运算途径的选择具有多样性。所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省、运算的简捷程度就高。而简捷主要体现在运算过程中概念的灵活运用、公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用上。这就要求我们要更多的关注运算层面，多探究，尤其是细节的完善，从而提升运算能力。