类比思想在高中数学教学中的应用

寇宗娣

【内容摘要】为了找到“火星上是否有生命”的正确答案，有科学家将地球与火星进行类比，发现火星的某些特征与地球很相似，如二者都是绕太阳而转；二者都存在大气层；二者都会遭遇季节的更迭，此外，大多数时间下的火星温度都适宜让地球上的某些已知生物进行生存……由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在。科学家做出上述猜想的推理过程就是类比推理。这种由两类对象具有某些相似或相同的属性事实出发，引入另一类同样具备这些特征的对象的推理就叫作类似推理，或简称为类比。类比推理的过程则可理解为：由特殊到特殊，由此及彼的过程。

【关键词】类比思想 高中数学 教学应用

类比作为一种重要的思维方法和推理方法，在数学发展的历史长河中占有举足轻重的地位，数学家波利亚（GeorgePolya）认为，类比对数学学习具有重要指导意义，求解立体几何问题同样有赖于平面几何中的类比问题。笔者认为在数学课堂教学中，我们必须认真审视和对待它。

在这里，笔者为大家展示一个基于“类比平面几何结论，探索立体几何性质”的假设。

如图所示：对平面直角三角形的勾股定理作类比，从而得出空间四面体性质的假设。

这道题的类比对象为？其分别具备怎样的特征？直角三角形内边长的关系为？在空间四面体内做类比可从哪一角度入手？

学生1：由于直角三角形两条边垂直（相互），因此，这里可选择三个面两两垂直的四面体，以此为直角三角形的类比对象。

学生2：在直角三角形中，有AC2+BC2=AB2；直角三角形中的C点对应四面体中的D点。

在四面体中有：PD2+ED2+FD2=PE2+EF2+PF2

学生3：他的结论不正确，根据边长之间的关系可以知道结论是错误的。

学生4：猜想在四面体中有以下结论：S2=S21+S22+S23

教師：很好！这个结论正确吗？可找一个特例先验证一下.

学生5：我选取DP=DE=DP=1，验证结论成立.

教师：这就增大了结论成立的可能性.但验证代替不了证明，类比结果的正确的还须严格证明。

师生共同分析：与直角三角形ABC相对应的是四面体P-DEF，与直角三角形ABC的直角边长相对应的，是四面体的面DEF，面FPD，面DPE的面积S1，S2，S3与直角三角形ABC的斜边长相对应的是四面体的面PEF的面积S。我们用长度度量线段，当然用面积度量面的大小。

在高中数学教学中类比思想也应用在很多模块中，比如等差数列与等比数列的学习、三类圆锥曲线的学习、圆与球体之间的性质对比，基本初等函数中的三类基本函数的学习，平面向量与空间向量之间的公式类比，处处渗透着类比的思想。

等差数列与等比数列是数列中的基本知识，它们之间有许多相似的地方，我们在讲授等比数列的性质时，大多数老师都用的是类比法。让学生根据学习等差数列的方法，类比得到等比数列的性质，更能促进学生对知识的理解与掌握。例如：通项公式和前n项和公式的函数性，等差中项与等比中项的性质应用。

总之，对于每一位数学老师来说，培养学生的核心素养是一项长期而艰巨的任务，类比教学，类比学习都是很好地让学生通过探索，掌握其规律的方法，从而达到举一反三的目的。所以我们必须要具备研究经验的积累，通过合情推理完成课堂教学。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.

[2]张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990.

（作者单位：甘肃省白银市第一中学）