《导数的几何意义》教学设计

曾国文

一、教材分析

本节课是在已学了平均变化率和瞬时变化率两个概念的区别与联系之上，进而从几何意义的角度上理解导数的含义，是可以充分应用现代化信息技术进行概念教学与问题探究的好题材，况且导数的几何意义是为常见函数导数的计算、导数在函数中的应用研究的基础.因此，本节课学习不仅仅能帮助学生更好理解导数的概念，还能让学生更有效认识到导数是刻画函数图像的单调性、变化快慢和极值等最好的工具。

二、教法学法

1.教法

实验观察法、研讨教学法和信息技术辅助教学法相结合

2.学法

实验观察、反思探究、学以致用、分组讨论、思想渗透等

三、教学目标

1.理解导数的几何意义，体会“以直代曲”思想方法

2.渗透逼近思想，激发学习兴趣，培养探索新知识的欲望

3.引导学生体会有限与无限的辩证唯物关系，领悟数学思想方法

四、重点难点

重点：

导数的几何意义及其在实际问题中应用价值，渗透“以直代曲”数学思想

难点：

由割线PPn趋向切线动态变化效果，由割线“逼近”成切线的理解

教学准备：多媒体、信息技术、几何画板、课件等

授课类型：探究课

五、教学过程

1.复习回顾， 诱发探索

老师：在前面学习已经学习了导数的本质，请写出导数的本质及其表达式。

学生：本质是函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率即：

f′（x0）= limΔx→0 f（x0+Δx）-f （x0）Δx

【设计意图】学生将已学知识和经验转化数学语言的思维过程是不可替代的，这一过程有利思维能力的提高，也为感知导数的几何意义打下良好基础。

老师：俗话说：“数形结合百般好，割裂分裂万事休”，诠释了数与形的辩证关系，而导数的本质仅是从数的角度来诠释导数，自然就想到形，因此从形的角度来理解导数的几何意义。

老師：请大家回忆下圆的切线和割线是如何定义的？（回忆、分组讨论、提问、形成共识）

学生：看交点个数，即一个交点为切线，两个交点为割线。

老师：对了。请看图像，此图中直线l1、l2与曲线相切吗？

学生：l1不是与曲线相切，l2与曲线相切

老师：因圆是一种特殊曲线，故不能用特殊解释一般，但我们能否从中得到启示寻找一般曲线的切线的定义？现在用几何画板作演示，请观察圆的割线与切线的区别与联系？

学生：感受到割线变切线是一种逼近取极限的过程，能否用种逼近取极限思想刻画一般曲线的切线？

老师：我们试着去探索下。

【设计意图】通过已有知识的回忆与展示，借助几何画板体验各种曲线的切线，推动知识的生成与发展，进而水到渠成的给出切线逼近的准确定义。

2.亲身实践，深刻领悟

老师：请同学们画出函数f（x）的图像过点A处的一条割线AB，A（x0， f（x0）），

B（x0+Δx， f（x0+Δx）），并观察当点A沿曲线逼近于B点时，直线AB有什么变化？

老师：展示学生各种典型作品，再次引导观察，仔细注意变化，请大家再次动手体验。

此时割线AB会无限逼近一个确定位置，请把它作出来。

老师：等大部分同学画出切线后，我用Flash动态演示，引导回顾发现并科学总结。

学生：Δx→0，割线AB→切线AT，则割线AB的斜率→切线AT的斜率

即f′（x0）= limΔx→0 f（x0+Δx）-f

（x0）Δx切线AT的斜率

老师：f′（x0）的本质是f（x）的图像在x=x0处切线AT的斜率。下面请大家谈谈对导数几何意义的理解？

学生：给出一种求解曲线上过某点处切线的斜率的新方法。

老师：好！导数的几何意义是在该点处切线（切线与曲线交点个数不一定唯一）的斜率。

【设计意图】让学生动手实践体验，感悟，教师引领，师生互动，让学生初步体会逼近思想，让知识的生成与发展自然流畅，让学生从中获取学习的快乐与探索科学的欲望。

3.深入观察，思维严谨

以直代曲思想（几何画板演示）

【设计意图】演示的节奏放慢，让学生动态直观观察过点处的切线的逼近过程，让学生加深对“以直代曲”思想的理解。

4.学以致用，小试牛刀

例1：求抛物线y=2x2在点A（1，2）处的切线方程。

变式1：过抛物线y=2x2上点P0处的切线平行直线y=4x-3，求P0的坐标。

变式2：过抛物线y=2x2上点P0处的切线垂直直线y=-14x+94，求P0的坐标。

【设计意图】通过例题及变式，让学生有效掌握求函数在某点处的切线的导数方法，强化解题规范，体会此方法的妙处，进一步加深对导数的几何意义的理解。

例2：（回归到课本中的高台跳水问题）函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10表示跳水运动中高度随时间变化而变化的图像。请大家根据图像描述曲线h（t）在t1=0.5s，t2=1s，t3=2s附近的变化情况。

【设计意图】利用多媒体展示实例，感受某点处附近可用以直代曲来理解，也从微观角度反应某点附近的变化快慢，从让学生对导数的几何意义理解更进一步。

六、归纳概括，提升认知

1. f′（x0）的几何意义是函数f（x）的图像在x=x0处的切线AT的斜率（数形结合）。即：切线AT的斜率=

f′（x0） = limΔx→0 f（x0+Δx）-f （x0）Δx

2.能在解释生活中的实际问题，体会并应用以直代曲的数学思想，领悟有限与无限辩证关系。

七、布置作业，分层要求

1.（必做题）用几何画板画出函数r（V）= （0≤V≤6） 的图像，请根据图像估算在V=0.6，1.2处气球的瞬时膨胀率，会有什么发现？

2.（选做题）请结合本节的实例及自己理解写出求函数在某点处的切线方程的一个算法。

（作者单位：福建省德化第一中学）