例谈高中生立体几何解题能力的培养

王其文

高中立体几何的难度和复杂性较中学平面几何相比有较大提高，对学生的抽象思维能力和空间想象力提出较高的要求。在新课改背景下，教师必须结合高中立体几何的教学实践，引导学生从多角度看待例题几何问题，帮助学生找到解题突破口。教师必须不断完善自身的教学素养，增强学生对空间点线面、三视图以及空间位置关系的判定的理解。

一、几何概念教学

概念是数学知识的基础，也是学生实现对数学知识实践应用的前提。立体几何涉及大量的几何概念知识、性质、定理等。概念教学切忌死记硬背，教师必须从理解的角度出发，结合图形、文字、符号进行真题训练教学。尤其是在空间关系、空间角、空间几何体的概念教学中，通过采用几何真题进行概念训练可以有效强化学生对几何概念的理解。

【例1】设直线m与平面a相交但不垂直，则下列说法正确的是（ ）

A.在平面a内有且只有一条直线与直线m垂直

B.过直线m有且只有一个平面与平面a垂直

C.与直线m垂直的直线不可能与平面a平行

D.与直线m平行的平面不可能与平面a垂直

【分析】本题考查的是学生对立体几何中空间直线与平面的位置关系问题。对于A，过直线与平面的交点，我们必然可以找到一条直线与直线m垂直。于是，平面a中任一平行于该直线的线都与直线m垂直，则A选项错误。对于B，在直线m上取一点作平面a的垂线，这两条直线确定的平面即与平面a垂直，则B正确。由A选项中的推论可知，必然存在直线与平面a空间平行，则C错误。对于D，我们若是将B中构建的平面进行前后平移，构造出与直线m平行的平面，且该平面必然与a垂直，则D错误。

从长期的实践教学出发，我认为通过综合性概念题的训练，可以有效地帮助学生理解立体几何的概念，这也是进行立体几何证明与推断的敲门砖。

二、灌输解题方法

古语云，授之以鱼不如授之以渔。只有学生掌握了立体几何的解题方法，他们在以后空间的证明与判断上才会更加得心应手。我认为，向量与立体几何有着密不可分的联系，向量是解决立体几何问题的有效手段之一。

【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点。

（1）求证：EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB。

【分析】拿到本题后，学生们首先尝试运用立体几何的线位关系进行证明，几经尝试后无果。此时，我们必须利用向量的知识，将几何证明转换成向量计算，这是高中几何常见的求解方法之一。首先，我们以线段DA、DC、DP所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立空间直角坐标系，并设AD=a。于是我们可以得到各点的坐标，D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、G（0，a，0）、E（a， ，0）、F（ ， ，

）。然后，要证明EF⊥CD，即相当于证明 =0。于是，利用向量乘法原理，我们可得（- ，0， ）·（0，a，0）=0，即可证得EF⊥CD。对于第二问，我们不妨设出点G（x，0，z）。于是可得 =（x- ，- ，z- ）。由题中所给条件可知，要使直线GF⊥平面PCB，只需要有 =0 、 =0。即是（x- ，- ，z- ）·（a，0，0）=a（x- ）=0，解得x= 。再由（x- ，- ，z- ）·（0，-a，a）= +a（z- ）=0，解得z=0。综上，我们可以得到G点的坐标为（ ，0，0），G点就是AD中点。

三、非常规思维教学

在高考中，立体几何题常常会作为试卷压轴题出现。对此，我们有必要针对立体几何解题中的非常规思维展开教学，鼓励学生开阔思维、勇于创新，为高考解题节省宝贵的时间。尤其是在立体几何角度、距离、面积的计算中非常规思维常常会对解题起到意想不到的效果。

【例3】在四面体ABCD中，设AB=1，CD= ，直线CD与AB的距离为2，夹角为 ，则四面体ABCD的体积为多少？

【分析】对于本题，若是直接求解四面体的体积固然难以实现，因此，我们需要利用非常规思维进行转化求解。

作线段BE与CD平行且相等，再连接DE、AE。此时，我们将四面体转换成四棱锥A-BCDE，也可以看成两个三棱锥A-BCD和A-BDE。由于底面BCDE 为平行四边形，则三棱锥A-BCD和A-BDE的底面积与高相等，则他们对应的体积也必然相等。于是我们可以得到：VA-BCD=VA-BDE=VD-ABE= S△BDE·h = AB·BE·sinABE·h= 。在本题中，我们采用的补全法，将四面体转换成四棱锥。在高中立体几何解题中，教师必须注意对这些特殊思维方法的教学，从而不断提高学生的发散性思维能力。

总之，概念、方法、思维是解决立体几何的三大利器。从长期的教学实践角度看，我们既要加强概念的教学，更要强化学生开放性思维的教学，只有实现了教、学、练的有机结合，高中立体几何教学才会不断取得进步。

（作者单位：江苏省射阳县高级中学）endprint