浅谈“转化思想”在初中数学解题中的应用

陈铭珩

【摘 要】转化思想就是要求我们换一个角度去看、换一种方式去想、换一种语言去讲、换一种观点去处理。本文将转化思想在初中数学解题中的应用做简单地阐述，并通过对初中数学常见数学题型的研究，初步分析该思想在解题中的应用，使学生能够在已有知识范围内解决比较复杂的数学问题，为数学解题提供捷径。

【关键词】初中数学解题     转化思想     转化类型     转化方法

数学解题过程实际上就是不断变更问题，将陌生问题转化为熟悉问题，化繁为简、化难为易，将未知转化为可知、已知的过程。如果学生在掌握“双基”的同时，接受了数学思想，学会了数学方法，就能激发数学学习兴趣，提高分析问题和解决问题的能力，并为以后的数学学习打下坚实的基础。下面我结合自己多年的教学实践，谈谈在初中数学解题中常见的基本转化类型和转化方法。

一、运用数与形之间的“转化”，化抽象为直观

初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础而展开的。《初中数学新课程标准》（以下简称《新课标》）在学习内容中要求：“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”如运用平面直角坐标系来解决有关函数方面的问题，可以通过图形将复杂或抽象的数量关系直观形象地翻译出来，探索出一条合理而乘势的解题途径，从而达到解决学生心中存在的困惑、培养学生的数学解题能力的目的。

例1：如图，已知一次函数y=x+m（m为常数）的图像与反比例函数y=kx（k≠0）的图像相交于点A（1，3）。

（1）求出两个函数的函数解析式;

（2）求出两个函数图像的另一交点B的坐标;

（3）写出函数组y=x+m，y=kx的自变量的数值范围。

分析：①本题要求函数解析式，只要把点A（1，3）代入函数关系式（点转化为数），即解得m=2，k=3。

②要求两图像的另一交点B的坐标，只要解两个函数联立成的方程组，解得的另一组解（数转化为点），即得点B（-3，-1）。此解题过程就是将数转化为形的过程（使学生直接感受到抽象的方程组解，就是在平面直角坐标系中两个图像的交点的坐标）。

③要写出函数值y=x+m>y=kx的自变量的取值范围（若转化为解分式不等式，则超出初中数学知识范围），本题可通过把形转化为数来解决，即通过观察图像可知。

二、把综合问题“转化”为基础问题，变复杂为简单

数学解题的过程是分析问题和解决问题的过程，对于较难（繁）的问题，可以通过分析将问题转化成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再根据这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务，从而找到解题的捷径。

例2：如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG。

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。

分析：本题通过以下几步转化：（1）把动点E转化为定点，一般学生见到动点就无从下手，找不到解题思路。只有将动点转化为定点，学生解题才能找到感觉。如何将动点转化为定点，就是我们常讲的“动中取静”。当点E在线段AB上运动，只可能存在三种情况。（2）把线段EF转化用含x的代数式来表示;由M为AD中点，易证Rt△EAM≌Rt△FDM，得到EM=FM，在Rt△EAM中，由勾股定理得EM=，即EF=2。（3）把线段MG转化用含x的代数式来表示;作MN⊥BC，构造Rt△MNG∽Rt△EAM，由相似三角形对应边成比例，得到MG=2。综合上述三次转化即得到△EGF的面积为y=2·2/2=2（x2+1）。

由第一步的“动中取静”的转化可知：点E由点A移动到B，所以自变量x的取值范围为0≤x≤2;只要在图中简单地画出点E分别在于A、B两点重合时，线段MG的中点P的位置，很容易得到线段MG的中点P运动的路线长为2。

三、把实际问题“转化”为数学模型，体会数学与现实生活的密切联系

《新课标》在基本理念中指出：“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据，进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。”重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是《新课标》强调的重点之一。在解决实际问题时，教师要重在分析，把实际问题转化为数学模型，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。

例3：某市政府大力扶持大学生创业。李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500。

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）

分析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润”，也就是把实际问题转化二次函数的极值问题：即每月利润=每件产品利润×销售产品件数。

（2）要解决“每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元”，即转化为列一元二次方程解应用题问题，由题意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解这个方程得：x=30，x=40。所以，要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元。

（3）要解决售价、获利在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题转化为一次函数、二次函数来完成。

综上所述，转化思想贯穿在数学解题的始终，而转化思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题提供的信息，利用动态思维去寻求有利于问题解决的变换途径和方法。所以学习和熟悉转化的思想，有意识地运用数学变换方法，去灵活地解决有关数学问题，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧。

【参考文献】

[1] 胡淑荣.浅议数学教学中的数学思想[A].高教改革研究与实践（上册）——黑龙江省高等教育学会，2003.

[2] 卢伟峰.数学解题中的转化思想[J].中学课程辅导（江苏教师），2011（01）.endprint