分段函数：“分身”不“分心”解决方法研究

陶强

【摘要】函数是高中数学重要模型之一。分段函数是函数中的一个难点，也是历年高考的热点。所谓分段函数指的是在不同的自变量取值范围内，分段函数可以同时由多个初等函数构成，这就使得研究分段函数问题需要运用综合的知识、方法、思想。

【关键词】分段函数；定义域和值域；函数值；单调性；奇偶性

分段函数是“分身”不“分心”的函数。分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数。分段函数是一个函数，是一类表达形式特殊的函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法。学习分段函数既有利于对函数的概念、性质等问题的理解以及函数思想的形成与培养，也有利于提高分析数学问题和解决数学问题的能力。本文就高考中这类热点问题进行总结和方法的探讨。

一、分段函数的定义域和值域问题

例1：已知函数，求其定义域和值域.

【分析】求分段函数的定义域只要将各段的子区间取并集；求分段函数的值域需要分段求出值域，再取并集.

图1

解：由于，可知定义域为.

当时，，；

而当时，

因此，函数的值域为.

二、分段函数的函数值问题

例2：已知，则的值为 _______________.

【分析】运用诱导公式化简求值；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值.

解：当时，，

故

.

三、分段函数的单调性问题

对于分段函数的单调性的判别，要分段分区间找出函数的单调区间。在分段点左右两边单调性一致时，还要根据分段点处的函数值及左右两区间的函数值的大小判断两区间是否可并为一个区间。

例3：已知函數是上的减函数，那么的取值范围是________.

【分析】由题意，得，解得.

四、分段函数奇偶性的问题

分段函数的奇偶性与初等函数奇偶性的判断一样，主要根据定义。一般分两步进行：第一，判断定义域是否是对称区间；第二，对定义域中任意一个实数，判断与的关系。对于分段函数还要注意在不同区间上函数解析式的不同。

例4：判断函数的奇偶性.

解：当时，，；

当时，；

当时，，.

因此，对于任意都有，所以为偶函数.

五、分段函数的方程问题

已知函数值求自变量或其他参数的值的问题，一般按自变量的取值范围分类讨论，通过解方程而得到。

例5：已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .

【分析】画出分段函数的图象，如图2所示。

图2

结合图象可以看出，若有两个不同的实根，也即函数的图象与有两个不同的交点，的取值范围为.

六、分段函数的不等式问题

例6：已知函数，若，则的取值范围是 .

【分析】分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，不等式需按自变量的取值范围分类讨论，将不等式化为几个具体的不等式来解决.

当时，，于是由得，再根据恒成立，只需，，从而解出.

当时，按照以上方法同样可以求出，最终满足以上两个条件得出.

分段函数一直是高考命题的一个热点。在解决分段函数问题时，函数图象要分段画出，这样定义域、值域、最值、单调性、奇偶性就显而易见。解关于分段函数的方程、不等式等用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想等就可轻松解决。通过学习分段函数可以拓展解决问题的思路，提高解决问题的能力。

【参考文献】

[1]童健.分段函数浅议[J].数学学习与研究，2011（15）：116.

[2]周利芹.关于分段函数的几点注意[J].数学大世界（教师适用），2011（05）：56.

[3]王文勇.高考热点——分段函数[J].中学生数理化（学研版），2013（07）：44.