如何在几何教学中提升学生的发散性思维

王育超

摘要：在我国对几何数学教学的模式，通常都是以教材为主，这种固定的教学模式不利于提升学生的创新能力，以及培养学生的发散性思维，因此，教师就需要对几何问题存在的内在规律进行把握，培养学生的发散性思维.本文主要通过对几何知识中存在的内在联系进行探究，对学生的认知领域进行扩展，从而提升学生的发散性思维.

关键词：几何教学；发散性思维；提升

一、前言

发散性思维，就是在思考问题的时候不受固定理念的局限，从不同的角度与方向进行思考问题，探究新知识，对问题的多个答案进行寻求的一种思维方法.长久以来，几何教学中都是通过集中思维，按照教材中的方法，以及相关材料中的方法进行教学，而学生也习惯于按照常规的方法与思路对问题进行解决，虽然能够很好的掌握基础知识，却不利于激发学生学习数学的兴趣，以及促进学生的智力发展.因此，在几何教学中教师需要对学生的发散性思维进行培养，通过与教学实践相结合，从而有效提升学生的发散性思维.

二、一题多解，激发学生探知思维

在对学生发散性思维培养的时候，最主要的影响因素就是学生对问题思考的思维被固化，形成一种循规蹈矩的思维模式，对学生思维积极的促进，有利于提升学生的发散性思维.对学生积极性的激发，主要是在几何教学课堂上进行引入，也就是运用阻碍性、问题性、趣味性等，以此对学生的学习中的新方法以及新知识的探知思维进行激发，从而使学生能够在几何学习中的求知欲望得以有效激发[1].同时，教师在对学生的一题多解的能力进行培养的时候，主要表现在以下几方面.（1）教师需要对相关的教学例题进行科学的选择，主要是大多数例题的解题方式比较单一，如果对单一解题方式的例题进行选取，教师就无法对一题多解进行教学.因此，教师需要对多种解题方式的例题进行选取，以此对学生的解题能力进行培养.（2）教师需要在课堂上，根据一题多解的角度，为学生进行示范，通过对学生的引导以及鼓励，让学生对例题寻找多种的解题方式，让学生的思维得到充分的发散，从而对学生一题多解的能力进行培养.学生在对几何学习，对相关几何问题进行解决的时候，需要教师进行正确的引导，让学生能够在发现问题、思考问题的基础上，解决问题.例如，2017年绍兴市中考中22题：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.

（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°.

①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长.

②若AC⊥BD， 求证： AD=CD.

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长.

本题主要是对四边形的综合题进行考察，在（1）①中只要证明ABCD为正方形就可以解决问题；在②中，只要证明所以△ABD≌△CBD即可.而在（2）中，如果EF⊥BC，那么AE≠EF，BF≠EF，可知ABFE是等腰直角四边形不符合条件；如果EF与BC不垂直，不论是AE=AB，还是BF=AB都可以推出ABFE是等腰直角四边形.

解：（1）①因为AB=CD=1，AB//CD， 所以四边形ABCD是平行四边形.

又因为AB=BC，所以□ABCD是菱形.

又因为∠ABC=90度，所以菱形ABCD是正方形.

所以BD=2

②如图1-1，连结AC，BD

因为AB=BC，AC⊥BD，所以∠ABD=∠CBD，

又因为BD=BD，所以△ABD？△CBD，

所以AD=CD.

（2）若EF与BC垂直，则AE≠EF，BF≠EF， 所以四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件；若EF与BC不垂直时：

方法一：当AE=AB时，如图2-1，此时四边形ABFE是等腰直角四边形.

所以AE=AB=5.

方法二：當BF=AB时，如图2-2，此时四边形ABFE是等腰直角四边形.

所以BF=AB=5.

因为DE//BF，所以△PED～△PFB，

所以DE：BF=PD：PB=1：2，

所以AE=9-2.5=6.5.

综上所述，AE的长为5或6.5.

三、转换角度，扩展学生思维

对于初中几何数学知识而言，其具有较大的抽象性，学生在进行解题的时候，经常会遇到许多公式以及定理，教师需要对学生解题的思维模式进行启发，从而使学生解题的灵活性得以确保.在对学生发散性思维培养的过程中，最重要的就是转变学生的传统学习思维模式，也就是教师需要从不同的角度，以及不同的方位对几何习题进行思考，以此对学生求解思维的不同性进行培养.在对学生所具有的抽象思维能力培养的时候，最重要的就是培养学生求异性思维，让学生通过不同的角度对几何相关问题进行分析，以此获取一条便捷的解题思路[2].通常通过数形结合的方式，在相关函数中寻找关键点，之后通过方程组的方式对其验证.这样学生在对几何问题思考的时候，就会从不同的角度对其进行思考，以此对学生的思维进行拓展，从而使学生的发散性思维得以有效提升.例如，2017年绍兴市中考中20题：如图1，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶总D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.

（结果精确到0.1m.参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

（1）求∠BCD的度数.

（2）求教学楼的高BD.

本题主要是通过直角三角形俯仰角的问题，对学生思维转换解题能力进行考察，也就是（1）中，C观测D的仰角应为CD与水平面的较小的夹角，即∠DCE；C观测B的俯角应为CB与水平线的较小的夹角，即为∠BCE，不难得出∠BCD=∠DCE+∠BCE；（2）易得CE=AB，则由直角三角形的锐角函数值即可分别求得BE和DE，求和即可.

解：（1）如图1-1，过点C作CD⊥BD于点E，

则∠DCE=18°，∠BCE=20°，

所以∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°

（2）由已知得CE=AB=30（m），

在Rt△CBE中，BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80（m），

在Rt△CDE中，DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60（m），

∴教學楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m）.

答：教学楼的高为20.4m.

四、开放条件，诱导学生思维发散

提升学生的发散性思维，最重要的就是学生在思维的时候，不会受到解题模式的束缚，并在对几何问题思考的时候，能够对其存在的共性进行探求，再寻求其变异，通过不同角度，不同层次，对问题进行猜想、延伸，从而使学生的思维能够更加活跃.想要使学生的发散性思维得以有效提升，就需要对其所具有的变形以及开放性等特点进行充分理解.同时，初中几何数学教学的过程中，需要对学生的思维兴趣进行培养，最重要的就是在课堂教学中确立学生的主体地位，让学生成为学习的主人，也就是在学习中顺应学生的学习方法，以及学生心理的学习顺序，而且教师需要指导学生对几何所具有的逻辑顺序进行理顺，以此确保学生的思维活动的正常开展.对于几何数学来说，由于其图形具有较强的多变性以及多样性，极其有利于对学生的发散性思维进行提升[3].对于几何问题而言，由于其所具有的规律性，在进行解题的时候，就会有具有许多不同的解法.例如，2017年绍兴市中考中23题：已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.

（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.

①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=°，β=°.②求α，β之间的关系式.

（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，请求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由.

本题主要是对三角形所具有的外角性质进行考察，其（1）（2）之间在解题技巧上存在类似之处，学生不能只局限于给定的条件进行思考，也可以根据（1）当中相关的解题技巧运用在（2）中，从而使解题难度大大减少.（1）①在△ADE中，由AD=AE，∠ADE=70°，不难求出∠AED和∠DAE；由AB=AC，∠ABC=60°，可得∠BAC=∠C=∠ABC=60°，则α=∠BAC -∠DAE，再根据三角形外角的性质可得β=∠AED -∠C；②求解时可借助设未知数的方法，然后再把未知数消去的方法，可设∠ABC=x，∠ADE=y；（2）有很多种不同的情况，做法与（1）中的②类似，可求这种情况：点E在CA延长线上，点D在线段BC上.

解：（1）①因为AD=AE，

所以∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°，

又因为AB=AC，∠ABC=60°，

所以∠BAC=∠C=∠ABC=60°，

所以α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°， β=∠AED-∠C=70°-60°=10°；

②如图1，设∠ABC=x，∠ADE=y，

则∠ACB=x，∠AED=y， 在△DEC中，y=β+x，

在△ABD中，α+x=y+β，所以α=2β.

（2）如图1-1，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，

设∠ABC=x，∠ADE=y，则∠ACB=x，∠AED=y，

在△ABD中，x+α=β-y， 在△DEC中，x+y+β=180°

所以α=2β-180°

五、结束语

综上所述，发散性思维最主要就是在对几何问题进行解决的时候，能够依照自己已经具备的条件与自身积累的经验与知识，从不同的角度对问题进行思考与探究，从而获得一种全新的方法对问题进行解决.本文通过对一题多解进行探讨，以此激发学生内在的求知欲，通过对解题角度的不断转换，拓展学生解题的思维，从而使学生的发散性思维得以有效提升，以此提升学生创造思维的能力。

参考文献：

[1]马万财.初中几何教学中如何培养学生的发散性思维能力[J].商情，2017，（4）：216.

[2]荆灵.初中数学几何教学中发散思维的训练[J].中外交流，2017，（8）：130.

[3]许才川.初中数学课堂教学方法研究[J].课程教育研究，2016，（6）：166-167，168.

（作者单位：浙江省绍兴市新昌县七星中学 312500）