用导数解决含参函数的最值问题

⌾祝燕

(作者单位： 广东梅县东山中学514700 )

用导数解决含参函数的最值问题

⌾祝燕

以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。解决导数在含参函数最值问题这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。解决的主要途径是将含参数的函数的单调性弄明白。

题型一、函数含有参数，区间是确定的

(2014年安徽高考理科数学卷)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a>0．

(I)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

∴f′(x)=-3(x-x1)(x-x2)．

当xx2时，f′(x)<0；当x10．

(II)∵a>0，∴x1<0,x2>0．

∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．

当0

又f(0)=1,f(1)=a，

∴当0

当a=1时，f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值；

当1

题型二、函数确定，区间含有参数

已知函数f(x)=xlnx， 求f(x)在[t，t+1](t>0)上的最小值；

所以函数f(x)在[t，t+2]上递增，所以f(x)min=f(t)=tlnt；

题型三、函数、区间都含有参数

(2013年广东高考卷21题)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R)

(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间；

试题解析：(1)k=1时f(x)=(x-1)ex-x2

∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2)

当x<0时ex-2<0，故f′(x)=x(ex-2)>0,f(x)单调递增；

0< x0，故f′(x)=x(ex-2)<0，f(x)单调递减；

x>ln2时ex-2>0，故f′(x)=x(ex-2)>0，f(x)单调递增；

综上，f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(ln2,+∞)，单调减区间为(0,ln2)．

(2)f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k)

由(1)可知f(x)的在(0，ln2k)上单调递减，

∴k-ln2k>0即k>ln2k ∴f(x)的在(0，ln2k)上单调递减，在(ln2k，k)上单调递增．

∴f(x)的在[0，k]上的最大值应在端点处取得．而f(0)=-1，f(k)=(k-1)ek-2k3

∴当x=0时f(x)取最大值-1．

对于用导数解决含有参数的函数最值问题， 主要就是运用导数讨论出函数的单调性，画出函数的简单图像，不论是函数含有参数，还是区间含有参数，都要做到讨论的不重不漏，这样才能正确的求出函数的最值。

(作者单位： 广东梅县东山中学514700 )