“包装的学问”之数学模型

胡英武

【摘 要】文章给出了“包装的学问”中包装方案的数学化与包装方案数的确定方法，建立了表面积最小的非线性整数规划模型并给出了模型的求解方法。

【关键词】包装的学问 包装方案 数学模型

“包装的学问”是北师大版小学数学五年级下册第82-83页的“綜合与实践”领域的教学内容。限于小学生的思维，教材中的包装问题只涉及一个面、两个面拼接的情况，不涉及三个面的拼接。作为教师，应该思考一般的包装问题。

一、问题提出

包装问题：将n个长、宽、高分别为a，b，c（）的长方体包装成大长方体，包装时要求包内相邻两物体必须以全等的两个面对接，怎样包装使表面积最小？

二、问题分析

要求包装后长方体的表面积，只要求出棱长；要求出棱长，只要求出包装方案。要解决包装问题，必须先将包装方案数学化，再确定包装方案数，算出各包装方案的表面积，确定最优方案。

三、模型建立

（一）包装方案的数学化

为叙述方便，建立如下图所示的空间直角坐标系。任一包装方案都是由x，y，z方向对接形成的，因此可用三维数对表示包装方案。

x方向对接引起长的改变，y方向对接引起宽的改变，z方向对接引起高的改变。

例如：某包装方案是x，y，z方向分别对接n1，n2，n3个形成的，那么该包装方案可用表示，其中n1是方向接的个数，n2是方向接的排数，n3是z方向接的层数。

该包装过程如下：方向对接n1个形成一行，包装后长方体的长扩大到原长方体长的n1倍；y方向再拼接这样的行形成1层，包装后长方体的宽扩大到原长方体宽的n2倍；方向再拼接这样的n3层，包装后长方体的高扩大到原长方体高的n3倍。

由于包装前后小长方体的总个数不变，所以包装方案的数学化可用n=n1·n2·n3来表示。

（二）包装方案数的确定

根据包装方案的数学化表示，要确定所有的包装方案，只要求出n的三因数分解的排列数。

例如：12个长方体的包装问题，有如下18种不同的包装方案：

12=12×1×1 12=1×12×1 12=6×12×1

12=6×2×1 12=6×1×2 12=2×6×1

12=2×1×6 12=1×6×2 12=1×2×6

12=4×3×1 12=4×1×3 12=3×4×1

12=3×1×4 12=1×4×3 12=1×3×4

12=3×2×2 12=2×3×2 12=2×2×3

（三）最优方案的确定

包装方案下，长方体的长、宽、高分别为n1a、n2b、n3c，表面积为。

问题转化为在，下，求的最小值问题，是非线性整数规划模型。

包装问题的数学模型：

四、模型求解

设 （），由n1、n2、n3确定的所有包方案（最多6种）中，最优包装方案为：（），最小表面积为S0。

其中（）

证明：设（n1，n2，n3）是n1，n2，n3（）的任意一个排列，该包装方案下的表面积为。

下面证明，即证。

我们以（ni，nj，nk）=（n2，n3，n1）为例给出证明，其他情况不再赘述。

因为，

所以，，，，

从而，即。

这样，我们得到了解决这类包装问题的一般方法：先求出n的三因数分解有几类，每一类按上述方法确定最优方案，再从这些方案中确定最优方案。

五、模型评价

本文利用初等数学的方法给出了包装方案的数学化，包装方案数的确定方法，建立了包装问题的非线性整数规划模型，给出了求解方法，后续进一步可思考n的三因数分解的排列数计算问题。

【参考文献】

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